Codeforces - 702A - Maximum Increase - 简单dp

DP的学习计划，刷 https://codeforces.com/problemset?order=BY_RATING_ASC&tags=dp

遇到了这道题 https://codeforces.com/problemset/problem/702/A

以为是最长上升子序列（Longest Increasomg Subsequence）的模板题，发现自己不会做

记录一下大概的思路：

\(O(n^2)\) 的算法：

• \(L[i]\) 选择 \(A[i]\) 为结尾的LIS的长度
• \(P[i]\) 选择 \(A[i]\) 为结尾的LIS的倒数第二个元素的Position（可以用来复现整个LIS）
• 临时变量 \(k\) ，表示 \(A[i]\) 计算时找到的前面最长的LIS的位置
• 对于每个 \(A[i]\) ，遍历它前面的每个 \(A[j]\) ，记录所有满足 \(A[j]<A[i]\) （可以把 \(A[i]\) 接在后面）且 \(L[j]>L[k]\) （更长的子序列）
• \(L[i]=L[k]+1\)
• \(P[i]=k\)

\(O(nlogn)\) 的算法：

• \(L[i]\) 长度为\(i+1\) 的IS的末位元素的最小值
• \(length\) 前 \(i\) 个元素构成的LIS的长度
• 升序遍历 \(i\)，故 \(length\) 非降，而且构造的过程中 \(L\) 数组是递增的
• 如果 \(L[length-1]<A[i]\) （ \(A[i]\) 可以接在当前最长的（长度为 \(length\) 的）LIS后面），则 \(L[length++]=A[i]\)
• 否则在已确定的 \(L[0]~L[length]\) 中（长度为 \(1\) 到 \(length\) 闭区间的LIS的最末元素）二分找到能更新的位置并更新 $*lower\_bound(L,L+length,A[i])=A[i]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int A[];
int L[];

int lis(){
    L[]=A[];
    int length=;
    for(int i=;i<n;i++){
        if(L[length-]<A[i]){
            L[length++]=A[i];
        }
        else{
            *lower_bound(L,L+length,A[i])=A[i];
            //1 7 2 5，已有序列1 7，lower_bound(2)得到7，可以把长度为2的LIS的末尾换成2
        }
    }
    return length;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<n;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    printf("%d\n",lis());

}

复原的时候也很简单，把$L[0]~L[length-1]$全部输出就可以了

但是最后我发现这个702A并不是LIS，因为他不是子序列而是子串！

2019-01-16