LCT解读(1)
蒟蒻的LCT解读(1)
前段时间本蒟蒻自学了一下LCT,但是网上的很多资料并不很全,而且作为一个数组选手,我看指针代码真的很麻烦,所以就在这里写一篇数组选手能看懂的代码。
LCT的初步了解
LCT全称Link_Cut_Tree,中文名动态树,Tarjan大爷的发明专利。
动态树是一类要求维护森林的连通性的题的总称,这类问题要求维护某个点到根的某些数据,支持树的切分,合并,以及对子树的某些操作。其中解决这一问题的某些简化版(不包括对子树的操作)的基础数据结构就是LCT(link-cut tree)。
LCT的大体思想类似于树链剖分中的轻重链剖分,轻重链剖分是处理出重链来。由于重链的定义和树链剖分是处理静态树所限,重链不会变化,变化的只是重链上的边或点的权值,由于这个性质,我们用线段树来维护树链剖分中的重链,但是LCT解决的是动态树问题(包含静态树),所以需要用更灵活的splay来维护这里的“重链”。
看完之后我们知道,LCT和静态的树链剖分很像。怎么说呢?这两种树形结构都是由若干条长度不等的“重链”和“轻边”构成(名字可以不同,大概就是这个意思),“重链”之间由”轻边”连接。就像这样:
较粗的就是重边。
与树链剖分的不同:
看到这里,我想很多人会问,那写树链剖分不就好了,写什么LCT呀!
LCT和树链剖分不同的是,树链剖分的链是不会变化的,所以可以很方便的用线段树维护。但是,既然是动态树,那么树的结构形态将会发生改变,所以我们要用更加灵活的维护区间的结构来对链进行维护,不难想到Splay可以胜任。如何分离树链也是保证时间效率的关键(链的数量和长度要平衡),树链剖分的“重儿子”就体现了前人博大精深的智慧。
在这里解释一下为什么要把树砍成一条条的链:我们可以在logn的时间内维护长度为n的区间(链),所以这样可以极大的提高树上操作的时间效率。在树链剖分中,我们把一条条链放到线段树上维护。但是LCT中,由于树的形态变化,所以用能够支持合并、分离、翻转等操作的Splay维护LCT的重链(注意,单独一个节点也算是一条重链)。
这时我们注意到,LCT中的轻边信息变得无法维护。为什么呢?因为Splay只维护了重链,没有维护重链之间的轻边;而LCT中甚至连根都可以不停的变化,所以也没法用点权表示它父边的边权(父亲在变化)。所以,如果在LCT中要维护边上信息,个人认为最方便的方法应该是把边变成一个新点和两条边。这样可以把边权的信息变成点权维护,同时为了不影响,把真正的树上节点的点权变成0,就可以用维护点的方式维护边。
关于一些定义:
struct link_cut_tree {
int father;//父亲节点
int ch[2];//左右儿子
bool reverse;//区间反转标记
bool is_root;//是不是所在splay的根
}tree[maxn];
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