bzoj 2726 [SDOI2012]任务安排（斜率DP+CDQ分治）

【题目链接】

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2726

【题意】

将n个任务划分成若干个块，每一组Mi任务花费代价(T+sigma{ tj }+s)*sima{ fi },j属于Mi，T为当前时间，问最小代价。

【思路】

设f[i]为将前i个任务划分完成的最小费用，Ti Fi分别表示t和f的前缀和，则不难写出转移方程式：

f[i]=min{ f[j]+(F[n]-F[j])*(T[i]-T[j]+s) },1<=j<=i-1

经过整理得到：

f[i]=min{ -T[i]*F[j]+(f[j]-F[n]*T[j]+F[j]*T[j]-s*F[j]) }

设X(i)=F[i],Y(i)=f[j]-F[n]*T[j]+F[j]*T[j]-s*F[j],a(i)=T[i]则有：

f[i]=min{ -a(i)*X(j)+Y(j) }

则我们需要：

min p = -a(i)*X(j)+Y(j)

即最小化直线方程：Y(j)=a(i)*X(j)+p的截距。

如果时间没有负数的话（出题人神脑洞<_<，这个题可以直接上单调队列维护下凸线。事实上这个算法可以得到60分。

有了负数以后因为斜率不满足随x单调，所以不能使用单调队列。

然后这道题就需要用splay或CDQ分治解。

Splay写法还是不会=-=，CDQ分治的处理和 这道题 类似，就不再赘述了。

需要注意的：x,y可能到达long long级别，所以不要直接除得slop

　　　　　　　 运算过程中long long的标识。

　　　　　　　 归并数组的时候几个小条件。

【代码】

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 #define rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 5e5+;
 const ll inf = 1e18;

 ll read() {
     char c=getchar();
     ll f=,x=;
     while(!isdigit(c)) {
         if(c=='-') f=-; c=getchar();
     }
     while(isdigit(c))
         x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*f;
 }

 struct Pt
 {
     ll x,y,k;
     int id;
     bool operator < (const Pt& rhs) const
     {
         return k<rhs.k;
     }
 }q[N],t[N];

 bool cmp(const Pt& a,const Pt& b)
 {
     return a.x<b.x || a.x==b.x&&a.y<b.y;
 }

 int T[N],F[N],st[N],top,n,s; ll f[N];

 ll U(int j,int k)
 {
     return (ll)q[k].y-q[j].y;
 }
 ll D(int j,int k)
 {
     return (ll)q[k].x-q[j].x;
 }

 void solve(int l,int r)
 {
     if(l==r) {
         q[l].x=(ll)F[l];
         q[l].y=(ll)f[l]-(ll)F[n]*T[l]+(ll)F[l]*T[l]-(ll)s*F[l];
         return ;
     }
     int mid=l+r>>;
     int l1=l,l2=mid+;
     FOR(i,l,r) {
         if(q[i].id>mid) t[l2++]=q[i];
         else t[l1++]=q[i];
     }
     memcpy(q+l,t+l,sizeof(Pt)*(r-l+));
     solve(l,mid);
     top=;
     FOR(i,l,mid) {
         while(top> && (ll)U(st[top-],st[top])*D(st[top-],i)>(ll)U(st[top-],i)*D(st[top-],st[top])) top--;
         st[++top]=i;
     }
     int j=;
     FOR(i,mid+,r) {
         while(j<top && U(st[j],st[j+])<(ll)q[i].k*D(st[j],st[j+])) j++;
         f[q[i].id]=min(f[q[i].id],-(ll)q[i].k*q[st[j]].x+q[st[j]].y+(ll)F[n]*(T[q[i].id]+s));
     }
     solve(mid+,r);
     l1=l,l2=mid+;
     FOR(i,l,r) {
         if((l2>r||cmp(q[l1],q[l2]))&&l1<=mid) t[i]=q[l1++];
         else t[i]=q[l2++];
     }
     memcpy(q+l,t+l,sizeof(Pt)*(r-l+));
 }

 int main()
 {
 //    freopen("in.in","r",stdin);
 //    freopen("out.out","w",stdout);
     n=read(),s=read();
     FOR(i,,n)
         T[i]=read(),T[i]+=T[i-],
         F[i]=read(),F[i]+=F[i-];
     FOR(i,,n) {
         q[i].id=i;
         q[i].k=T[i];
         f[i]=inf;
     }
     sort(q+,q+n+);
     solve(,n);
     printf("%lld\n",f[n]);
     return ;
 }

简单DP（20分）

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 #define rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 2e5+;
 const ll inf = 1e18+;

 ll read() {
     char c=getchar();
     ll f=,x=;
     while(!isdigit(c)) {
         if(c=='-') f=-; c=getchar();
     }
     while(isdigit(c))
         x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*f;
 }

 ll T[N],F[N],f[N],pre[N],n,s;

 int main()
 {
     freopen("in.in","r",stdin);
     freopen("outr.out","w",stdout);
     n=read(),s=read();
     FOR(i,,n)
         T[i]=read(),T[i]+=T[i-],F[i]=read(),F[i]+=F[i-]    ;
     FOR(i,,n) {
         f[i]=inf;
         FOR(j,,i-) {
             //f[i]=min(f[i],f[j]+(F[n]-F[j])*(T[i]-T[j]+s));
             int tmp=-T[i]*F[j]+(f[j]-F[n]*T[j]+F[j]*T[j]-s*F[j]);
             if(tmp<f[i]) pre[i]=j,f[i]=tmp;
         }
         f[i]+=F[n]*(T[i]+s);
     }
     printf("%lld\n",f[n]);
     //FOR(i,1,n) {
     //    printf("%d %d\n",F[i],f[i]-F[n]*T[i]+F[i]*T[i]-s*F[i]);
     //}
     return ;
 }