CF GYM100548 （相邻格子颜色不同的方案数 2014西安现场赛F题 容斥原理）

n个格子排成一行，有m种颜色，问用恰好k种颜色进行染色，使得相邻格子颜色不同的方案数。

integers n, m, k (1 ≤n, m ≤ 10^9, 1 ≤ k ≤ 10^6, k ≤ n, m).

m种颜色取k种 C(m, k) 这个可以放最后乘 那么问题就变成只用k种颜色
第一个格子有k种涂法 第二个有k-1种 第三个也是k-1种

一共就是k*(k-1)^(n-1) 这种算法仅保证了相邻颜色不同，总颜色数不超过k种，并没有保证恰好出现k种颜色 也就是多算了恰好出现2种 恰好出现3种.... 恰好出现k-1种

我们本来是要求 恰好用k的种 现在又要求恰好出现k-1种
那么就是 （k-1）*(k-2)^(n-1) 然后这个也是多算了一些情况的
以此类推 然后就可以用容斥原理

比如有5种颜色，选4种 就是

C(5, 4) * （C(4, 4)*4*3^4 - C(4, 3)*3*2^4 + C(4, 2)*2*1^4）

Sample Input

2
3 2 2// n m k
3 2 1
Sample Output

Case #1: 2
Case #2: 0

 # include <iostream>
 # include <cstdio>
 # include <cstring>
 # include <algorithm>
 # include <string>
 # include <cmath>
 # include <queue>
 # include <list>
 # define LL long long
 using namespace std ;

 const int MOD =  ;

 int n , m  , k ;
 LL CM ;
 LL CK[] ;
 LL INV[] ;

 LL pow_mod(LL p, LL k)
 {
     LL ans = ;
     while(k) {
         if (k & ) ans = ans * p % MOD;
         p = (LL)p*p % MOD;
         k >>= ;
     }
     return ans;
 }

 LL Ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){  //扩展欧几里德
    if(a==&&b==) return -;
    if(b==) { x=, y=; return a; }
    LL d= Ext_gcd(b,a%b,y,x);
    y-= a/b*x;
    return d;
 }
 //ax = 1(mod m)
 LL Inv(LL a,LL m){   //求逆元  a对m的逆元
    LL d,x,y,t = m;
    d= Ext_gcd(a,t,x,y);
    if(d==) return (x%t+t)%t;
    return -;
 }

 LL Cm(LL n, LL m, LL p)  //求组合数
 {
     LL a=, b=;
     if(m>n) return ;
     while(m)
     {
         a=(a*n)%p;
         b=(b*m)%p;
         m--;
         n--;
     }
     return (LL)a*Inv(b,p)%p;  //（a/b）%p 等价于 a*（b，p）的逆元
 }

 int Lucas(LL n, LL m, LL p)  //把n分段递归求解相乘
 {
     if(m==) return ;
     return (LL)Cm(n%p,m%p,p)*(LL)Lucas(n/p,m/p,p)%p;
 }

 void init()
 {
     INV[] =  ;
     int i ;
     for (i =  ; i <  ; i++)
         INV[i] = Inv(i,MOD) ;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt","r",stdin) ;
     int T ;
     scanf("%d" , &T) ;
     int Case =  ;
     init() ;
     while(T--)
     {
         Case++ ;
         scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) ;
         if (n == )
         {
             printf("Case #%d: %d\n", Case , m);
             continue ;
         }
         int i ;
         CM = Cm(m,k,MOD) ;
         CK[] =  ;
         for (i =  ; i <= k ; i++)
             CK[i] = (CK[i-] * (k-i+)%MOD * INV[i])%MOD ;
         LL ans =  , t =  ;
         for (i = k ; i >=  ; i--)
         {
             ans = (ans + t*CK[i]*i%MOD*pow_mod(i-,n-)%MOD+MOD)%MOD ;
             t *= - ;
         }
         printf("Case #%d: %I64d\n",Case,ans*CM%MOD);

     }
     return ;
 }