[Luogu 3707] SDOI2017 相关分析

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前言

Capella 和 Frank 一样爱好天文学。

她常在冬季的夜晚，若有所思地望着东北方上空的五边形中，最为耀眼的一个顶点。

那一抹金黄曾带给她多少美好的遐想！

直到有一天，她做了这一题，并饱受线段树的折磨。

概述

这是一道区间操作的题目，解法有线段树与分块等。

题主选择线段树进行讲解（因为没用分块写这题）。

准备与计算答案

首先要知道，线段树需要维护的数值有哪些。

先来看题目中所给的公式。

\(\bar x = \frac 1 {r-l+1} \sum_{i=l}^r x_i\)

\(\bar y = \frac 1 {r-l+1} \sum_{i=l}^r y_i\)

\(\hat a = \frac{\sum_{i=l}^r (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=l}^r (x_i - \bar x)^2}\)

将线性回归方程的公式展开得（\(\sum_{i=l}^r\) 省略为 \(\sum\)）：

\(\hat a = \frac{\sum (x_i y_i - \bar x y_i - \bar y x_i + \bar x \bar y)}
{\sum (x_i^2 - 2\bar x x_i + \bar x^2)}\)

\(= \frac{\sum x_i y_i - \bar x \sum y_i - \bar y \sum x_i + (r-l+1) \bar x \bar y}
{\sum x_i^2 - 2\bar x \sum x_i + (r-l+1) \bar x^2}\)

将 \(\bar x\)、\(\bar y\) 代入上式得：

\(\hat a
= \frac{\sum x_i y_i - \frac{\sum x_i \sum y_i}{r-l+1} - \frac{\sum x_i \sum y_i}{r-l+1} + (r-l+1) \frac{\sum x_i}{r-l+1} \cdot \frac{\sum y_i}{r-l+1}}
{\sum x_i^2 - \frac{2(\sum x_i)^2}{r-l+1} + (r-l+1) (\frac{\sum x_i}{r-l+1})^2}\)

\(= \frac{\sum x_i y_i - \frac{\sum x_i \sum y_i}{r-l+1}}
{\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{r-l+1}}\)

由此可见，线段树需要维护的数值有 \(\sum x_i^2\)、\(\sum x_i y_i\)、\(\sum x_i\) 以及 \(\sum y_i\)。

设 \(v_0 = \sum x_i^2, v_1 = \sum x_i y_i, v_2 = \sum x_i, v_3 = \sum y_i\)，

则最终计算出的 \(\hat a = \frac{v_1 - \frac{v_2 v_3}{r-l+1}}{v_0 - \frac{v_2^2}{r-l+1}}\)。

区间加操作

进行区间加操作时，设 \(x\) 的变化量为 \(S\)，\(y\) 的变化量为 \(T\)，则各个标记的下传过程如下：

\(\sum (x_i + S)^2 = \sum (x_i^2 + 2Sx_i + S^2)\)

\(= \sum x_i^2 + 2S \sum x_i + (r-l+1)S^2\)

\(\sum (x_i+S)(y_i+T) = \sum (x_i y_i + Sy_i+Tx_i+ST)\)

\(=\sum x_i y_i + S \sum y_i + T \sum x_i + (r-l+1)ST\)

\(\sum (x_i+S) = \sum x_i + (r-l+1)S\)

\(\sum (y_i+T) = \sum y_i +(r-l+1)T\)

特别注意：由于更新 $\sum x_i^2 $ 与 \(\sum x_i y_i\) 时，需要用到更新前的 \(\sum x_i\) 与 \(\sum y_i\) 的值，所以应注意顺序。

区间修改操作

前置技能

\(1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)} 6\)

转化

试图将区间修改操作转化为区间加操作。

对于 \(i \in [l,r]\)，\(x_i\) 改为 \(S+i\)，\(y_i\) 改为 \(T+i\)，

相当于将 \(i \in [l,r]\) 的每个 \(x_i\) 与 \(y_i\) 都改为 \(i\) ，

\(\sum x_i^2 = \sum y_i^2 = \sum i^2 = \frac {r(r+1)(2r+1)} 6 - \frac {l(l-1)(2l-1)} 6\)（即 \(\sum_{i=1}^r i^2 -\sum_{i=1}^{l-1} i^2\)）

\(\sum x_i = \sum y_i = \sum i = \frac {(r-l+1)(l+r)} 2\)（\(r-l+1\) 为区间元素个数，\(\frac {l+r} 2\) 为区间平均值）

然后清空Lazy Tag（无论区间曾经加了多少都没有用，将被统一修改）。

维护操作

清空Lazy Tag后，对区间 \([l,r]\) 进行区间加操作，即：每个 \(x_i\) 加上 \(S\)，每个 \(y_i\) 加上 \(T\)。

更新过程与区间加操作完全相同。

最后还要打上标记c，表示此区间的子区间需要区间修改操作。

注意事项

• 一定记得下传Lazy Tag与c标记，我就是因为没传才调了一上午+一下午+半个晚上的。

• 本题下传标记部分较为复杂，请一定注意顺序。

结束语

这道题有点像《HAOI2012 高速公路》啊。

线段树这种东西，多推一推也就熟悉啦。

加油，各位队友；加油，自己。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN=100010;
double x[MAXN],y[MAXN];
int n,m;
class SegmentTree
{
    public:
        void Build(int i,int l,int r)
        {
            s[i]=node(l,r);
            if(l==r)
            {
                s[i].v[0]=x[l]*x[l],s[i].v[1]=x[l]*y[r],s[i].v[2]=x[l],s[i].v[3]=y[r];
                return;
            }
            int j=i<<1,mid=l+r>>1;
            Build(j,l,mid),Build(j|1,mid+1,r),PushUp(i);
        }
        void Add(int i,int l,int r,double S,double T)
        {
            if(l==s[i].l && r==s[i].r)
            {
                AddModify(i,S,T);
                return;
            }
            if(s[i].l^s[i].r)
                PushDown(i);
            int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
            if(r<=mid)
                Add(j,l,r,S,T);
            else if(l>mid)
                Add(j|1,l,r,S,T);
            else
                Add(j,l,mid,S,T),Add(j|1,mid+1,r,S,T);
            PushUp(i);
        }
        void Change(int i,int l,int r,double S,double T)
        {
            if(l==s[i].l && r==s[i].r)
            {
                ChangeModify(i),AddModify(i,S,T);
                return;
            }
            if(s[i].l^s[i].r)
                PushDown(i);
            int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
            if(r<=mid)
                Change(j,l,r,S,T);
            else if(l>mid)
                Change(j|1,l,r,S,T);
            else
                Change(j,l,mid,S,T),Change(j|1,mid+1,r,S,T);
            PushUp(i);
        }
        double Ans(double l,double r)
        {
            double size=r-l+1;
            memset(ans,0,sizeof ans);
            Sum(1,l,r);
            return (ans[1]-ans[2]*ans[3]/size)/(ans[0]-ans[2]*ans[2]/size);
        }
    private:
        double ans[4];
        struct node
        {
            bool c;
            double S,T,v[4];
            int l,r;
            node(int _l=0,int _r=0)
            {
                l=_l,r=_r,c=S=T=0;
            }
        }s[MAXN<<2];
        double Calc(double i)
        {
            return i*(i+1)*(2*i+1)/6;
        }
        void AddModify(int i,double S,double T)
        {
            double size=double(s[i].r-s[i].l+1);
            s[i].v[0]+=S*S*size+2*S*s[i].v[2];
            s[i].v[1]+=S*T*size+S*s[i].v[3]+T*s[i].v[2];
            s[i].v[2]+=S*size;
            s[i].v[3]+=T*size;
            s[i].S+=S,s[i].T+=T;
        }
        void ChangeModify(int i)
        {
            double l=double(s[i].l),r=double(s[i].r);
            s[i].v[0]=s[i].v[1]=Calc(r)-Calc(l-1),s[i].v[2]=s[i].v[3]=(r-l+1)*(l+r)/2,s[i].c=1,s[i].S=s[i].T=0;
        }
        void PushUp(int i)
        {
            int l=i<<1,r=l|1;
            for(int k=0;k<4;++k)
                s[i].v[k]=s[l].v[k]+s[r].v[k];
        }
        void PushDown(int i)
        {
            int l=i<<1,r=l|1;
            if(s[i].c)
                ChangeModify(l),ChangeModify(r);
            AddModify(l,s[i].S,s[i].T),AddModify(r,s[i].S,s[i].T);
            s[i].c=s[i].S=s[i].T=0;
        }
        void Sum(int i,int l,int r)
        {
            if(l==s[i].l && r==s[i].r)
            {
                for(int k=0;k<4;++k)
                    ans[k]+=s[i].v[k];
                return;
            }
            if(s[i].l^s[i].r)
                PushDown(i);
            int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
            if(r<=mid)
                Sum(j,l,r);
            else if(l>mid)
                Sum(j|1,l,r);
            else
                Sum(j,l,mid),Sum(j|1,mid+1,r);
        }
}SgT;
int main(int argc,char *argv[])
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lf",&x[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lf",&y[i]);
    SgT.Build(1,1,n);
    for(int i=1,opt,l,r;i<=m;++i)
    {
        double S,T;
        scanf("%d %d %d",&opt,&l,&r);
        switch(opt)
        {
            case 1:
                printf("%.10lf\n",SgT.Ans(l,r));
                break;
            case 2:
                scanf("%lf %lf",&S,&T);
                SgT.Add(1,l,r,S,T);
                break;
            case 3:
                scanf("%lf %lf",&S,&T);
                SgT.Change(1,l,r,S,T);
                break;
        }
    }
    return 0;
}

谢谢阅读。