ZJOI2013 防守战线

题目

战线可以看作一个长度为\(n\)的序列，现在需要在这个序列上建塔来防守敌兵，在序列第\(i\)号位置上建一座塔有\(C_i\)的花费，且一个位置可以建任意多的塔，费用累加计算。有\(m\)个区间\([L_1,R_1],[L_2,R_2],…,[L_m,R_m]\)，在第\(i\)个区间的范围内要建至少\(D_i\)座塔。求最少花费。

算法1——费用流

我们会发现这题很像Noi2008 志愿者招募。

但是两式相减之后却不能产生想[志愿者招募]一样的效果，原因是对于一个区间，它体现在矩阵里面的系数不是在同一列，而是在同一行。

有个神奇的东西，就是转换成这个问题的对偶问题。对偶问题怎么转换呢，链接。

对于原问题 可以描述为：

有一个工厂，它生产\(n\)种产品，第\(i\)种产品可以卖\(c_i\)元

现在一共有\(m\)种材料 生产一个产品\(i\)需要\(a_{ij}\)个材料\(j\)

每个材料的个数有上限 为\(b_i\)

现在要求一种生产方案使得获利最多

这个问题的对偶问题 可以描述为：

你现在要找这个工厂购买原材料 第\(i\)种材料需要\(b_i\)个 价格由你定

这个工厂会把材料卖给你 仅当它觉得不亏

即它把卖给你的材料拿去做产品的价值\(\leq\)你收购做这个产品所需材料的价格和

求最少需要多少钱可以收购完

我觉得这个“证明”好形象！

然后我们就可以像[志愿者招募]一样构图，接着用跑费用流了，但是最“原始”的费用流会被卡掉\(3\)个点，所以我们要用\(zkw\)网络流！

一开始我有点担心图中会不会出现正圈，lzh教导我：如果原图没有正圈，那么残余网络中也不会有正圈！

算法2——单纯形

这个单纯形，我弄了一整个早上才明白。

这里是维基的资料。

关于单纯形，什么时候我们能跑整数的呢（在这题里面，矩阵里的元素只有\(-1,0,1\)）？想到省赛就要来了，先把这个问题放一放。贴吧里有个帖子就是讨论这个的。

贴个代码，虽然不需要用double，但我还是先写个标准的单纯形吧。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1003;
const int MAXM = 10003;
const double INF = 1e100;
const double EPS = 1e-8;

int n, m;
double A[MAXN][MAXM];
int main() {
	freopen("defend.in", "r", stdin);
	freopen("defend.out", "w", stdout);

	scanf("%d%d", &n, &m);
	n ++, m ++;
	for (int i = 1; i < n; i ++) {
		scanf("%lf", A[i] + m);
	}
	for (int i = 1; i < m; i ++) {
		int L, R;
		scanf("%d%d%lf", &L, &R, A[n] + i);
		for (int j = L; j <= R; j ++)
			A[j][i] = 1;
	}

	while (true) {
		int x = -1, y;
		for (int i = 1; i < m; i ++) {
			if (A[n][i] - EPS <= 0) continue;
			x = i;
			y = -1;
			double tval = INF;
			for (int j = 1; j < n; j ++) {
				if (A[j][i] - EPS <= 0) continue;
				double tmp = A[j][m] / A[j][i];
				if (tmp < tval) {
					tval = tmp;
					y = j;
				}
			}
			assert(y != -1);
			break;
		}
		if (x == -1) break;

		for (int i = 1; i <= m; i ++)
			if (i != x) A[y][i] /= A[y][x];
		A[y][x] = (double) 1 / A[y][x];
		for (int i = 1; i <= n; i ++)
			if (fabs(A[i][x]) > EPS)
				for (int j = 1; j <= m; j ++)
					if (i != y && j != x)
						A[i][j] -= A[i][x] * A[y][j];
		for (int i = 1; i <= n; i ++)
			if (i != y) A[i][x] *= - A[y][x];
	}
	printf("%.0lf\n", (double) - A[n][m]);

	return 0;
}