题目

战线可以看作一个长度为\(n\)的序列,现在需要在这个序列上建塔来防守敌兵,在序列第\(i\)号位置上建一座塔有\(C_i\)的花费,且一个位置可以建任意多的塔,费用累加计算。有\(m\)个区间\([L_1,R_1],[L_2,R_2],…,[L_m,R_m]\),在第\(i\)个区间的范围内要建至少\(D_i\)座塔。求最少花费。

算法1——费用流

我们会发现这题很像Noi2008 志愿者招募

但是两式相减之后却不能产生想[志愿者招募]一样的效果,原因是对于一个区间,它体现在矩阵里面的系数不是在同一列,而是在同一行。

有个神奇的东西,就是转换成这个问题的对偶问题。对偶问题怎么转换呢,链接

对于原问题 可以描述为:

有一个工厂,它生产\(n\)种产品,第\(i\)种产品可以卖\(c_i\)元

现在一共有\(m\)种材料 生产一个产品\(i\)需要\(a_{ij}\)个材料\(j\)

每个材料的个数有上限 为\(b_i\)

现在要求一种生产方案使得获利最多

这个问题的对偶问题 可以描述为:

你现在要找这个工厂购买原材料 第\(i\)种材料需要\(b_i\)个 价格由你定

这个工厂会把材料卖给你 仅当它觉得不亏

即它把卖给你的材料拿去做产品的价值\(\leq\)你收购做这个产品所需材料的价格和

求最少需要多少钱可以收购完

我觉得这个“证明”好形象!

然后我们就可以像[志愿者招募]一样构图,接着用跑费用流了,但是最“原始”的费用流会被卡掉\(3\)个点,所以我们要用\(zkw\)网络流!

一开始我有点担心图中会不会出现正圈,lzh教导我:如果原图没有正圈,那么残余网络中也不会有正圈!

算法2——单纯形

这个单纯形,我弄了一整个早上才明白。

这里是维基的资料

关于单纯形,什么时候我们能跑整数的呢(在这题里面,矩阵里的元素只有\(-1,0,1\))?想到省赛就要来了,先把这个问题放一放。贴吧里有个帖子就是讨论这个的。

贴个代码,虽然不需要用double,但我还是先写个标准的单纯形吧。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std; const int MAXN = 1003;
const int MAXM = 10003;
const double INF = 1e100;
const double EPS = 1e-8; int n, m;
double A[MAXN][MAXM];
int main() {
freopen("defend.in", "r", stdin);
freopen("defend.out", "w", stdout); scanf("%d%d", &n, &m);
n ++, m ++;
for (int i = 1; i < n; i ++) {
scanf("%lf", A[i] + m);
}
for (int i = 1; i < m; i ++) {
int L, R;
scanf("%d%d%lf", &L, &R, A[n] + i);
for (int j = L; j <= R; j ++)
A[j][i] = 1;
} while (true) {
int x = -1, y;
for (int i = 1; i < m; i ++) {
if (A[n][i] - EPS <= 0) continue;
x = i;
y = -1;
double tval = INF;
for (int j = 1; j < n; j ++) {
if (A[j][i] - EPS <= 0) continue;
double tmp = A[j][m] / A[j][i];
if (tmp < tval) {
tval = tmp;
y = j;
}
}
assert(y != -1);
break;
}
if (x == -1) break; for (int i = 1; i <= m; i ++)
if (i != x) A[y][i] /= A[y][x];
A[y][x] = (double) 1 / A[y][x];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
if (fabs(A[i][x]) > EPS)
for (int j = 1; j <= m; j ++)
if (i != y && j != x)
A[i][j] -= A[i][x] * A[y][j];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
if (i != y) A[i][x] *= - A[y][x];
}
printf("%.0lf\n", (double) - A[n][m]); return 0;
}

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