SciTech-Mathmatics - Analysis - FT + FFT + DFT 及其应用: FT(傅立叶变换) 、图像的 Magnitude Spectrum (幅度谱图）及 频率信息

SciTech-Mathmatics - Analysis - FT + FFT + DFT 及其应用:

Abbreviations:

FT: Fourier Transformation

FFT: Fast F.T.

DFT: Discrete F.T.

FT(傅立叶变换) 与 图像的频率信息

图像的频率信息:

• 数字化图像(Digitalized Image) 是 一个 多通道(channel) 的 像素值 matrix (也可展平视作一维 vector);
  
  例如，最常用的OpenCV 将数字化图像文件 读入内存 后，可直接视作 "numpy.ndarray" 类型数据结构。
• 数字化图像建立"频率视图":
  
  数字化图像的矩阵(表格, 时空域)数据，是可以变成"频率域"数据的。
  
  变换到 "频率域" 的数据, 可以分解出更多有用的信息。
• "频率域视图"的"数字图像分析":
  
  总之，分两阶段:
  • 用 FT(Fourier Transformation, 傅立叶变换) 将 数字化图像的 矩阵(表格) 数据，
    
    变换出 "频率域" 的 "主成份频点" ，及每个 "主成份频点" 对应的 "周期波信号(频率、幅度 和 相位)";
    
    通过这一系列 的 "主成份频点" 及其对应的 "周期波信号" 就能组合还原出"高度接近" 的 矩阵(表格) 数据( 原生信号).
  • 用 MS(Magnitude Spectrum, 幅度谱图) 将 "频率信息" 可视化.
    
    例如 视频 和 图像 之所以可以压缩，就是通过"FT(频率化)", 并用 MS可视化 分析。

MS(Magnitude Spectrum, 幅度谱图)的理论:

MS(Magnitude Spectrum, 幅度谱图) 反映了 不同频率 的 "主成份正弦波" 的 "幅度分布"信息:

显示"数字化图像"经过FT(傅立叶变换)后，各种"频率成份"的"幅度(信号强度)".

• 数字化图像 的 每一个 pixel (像素点) 都可看做是 "连续信号波"的一个"采样点(离散。值)"；
  
  每一个"连续信号波" 都可看作由 "有限个(多个)不同频率的标准正弦波" 进行 "叠加" 得到的结果(合成信号).
• 通过FT(傅里叶变换)可将数字化图像由 "空间域(像素的灰度值分布)" 转换到 "频率域"，
  
  得到每个"主成份频率信号波"的"频率 和 幅度(强度)".

MS(Magnitude Spectrum, 幅度谱图)的含义:

傅立叶变换 的 物理意义

图像的频率, 表示:

1.

• 将 "数字化图像"的 每 "一个色彩通道" 的 "像素(灰度值]矩阵/表格"数据 "展平" 成" 一维 的 像素(灰度值)数组"；
• 每一 "一维像素(灰度值)数组" 都可以看做 "一个信号波"(信号采样点序列)。
• 像素(灰度值)的 "变化剧烈程度" 的指标，是灰度值 在 平面空间上的 "梯度"。
  
  灰度值变化快 则 频率就高，灰度值 变化慢 则 频率就低。例如：
  • "大面积的沙漠" 在 "图像" 上， 是 一片 "灰度变化缓慢" 的区域，对应的 "频率值" 很低；
  • "地表属性变换剧烈的边缘区域" 在"图像"上，是一片 "灰度变化剧烈"的区域，对应的频率值较高。
• 傅立叶变换 在实际上，有非常明显的"物理意义"，
  
  设 f 是一个能量有限的 模拟信号，则其 "傅立叶变换" 就表示 "f的谱"。
  
  数学意义上，傅立叶变换 是 将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
  
  物理效果上，傅立叶变换 是 将 图像由 "空间域转换到频率域"，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
  
  换句话说，傅立叶变换 的 "物理意义" 是将 "图像的灰度值分布" 的 函数, 变换为" 图像的频率分布 的 函数，
  
  傅立叶逆变换 是将 图像的频率分布函数 变换为 灰度值分布函数。
• 傅立叶变换以前，图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合，
  
  我们习惯用 "一个二维矩阵" 表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。
  
  由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间的 物体 在另一个维度上的关系就由梯度来表示，
  
  这就可以通过观察图像得知物体在三维空间的对应关系。
• 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，
  
  当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。
  
  傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱，即梯度的大小，
  
  也即 "该点的频率的大小".
  • 差异/梯度越大，频率越高，能量越低，在频谱图上就越 暗。
  • 差异/梯度越小，频率越低，能量越高，在频谱图上就越 亮。
  • 换言之，频率谱上越亮能量越高，频率越低，图像差异越小/平缓）。
  • 频谱图，也叫功率图: 一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。

在经过频谱中心化（用(-1)x+y乘以输入的图像函数在这里插入图片描述）后的频谱，

中间最亮的点是最低频率，属于直流分量(DC分量), (当频率为0时，表示直流信号，没有变化)。

在原点(u,v两个频率域变量均为零)的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级,F(0，0)称做频 率谱的直流成分)。

越往边外走，频率越高。所以，频谱图的四个角和X,Y轴的尽头都是高频，如下图：

我们首先就可以看出，图像的能量分布，

如果频谱图上 暗的点数多, 那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），

如果频谱图上 亮的点数多, 那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。

对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰

FT 与 RFT

傅立叶变换，是一种函数, 由 空间域 到 频率域 的 "变换"

傅立叶反变换 ，也是一种函数，由 频率域 到 空间域 的 "变换"

• 以上两种定义，使用了"变换"这一"数学专业"的名词，
  
  可推断出，以上两种函数的定义，是基于"Advanced Linear Algebra"学科建立的"数据"与"分析模型"。
• 另外用了"时域"与"频域"这两个"物理学:电子电路分学科"的"专业名词"。

时域 与 频域：

• 频域(Frequency domain)
  
  对 函数或信号 分析时，分析其和 "频率" 有关部份，而不是和 "时间" 有关的部份，和时域一词相对。
• 时域(Time domain)
  
  描述 "数学函数或物理信号" 对 "时间" 的关系。
  
  例如 "一个信号" 的 "时域波形" 可表达 "信号 对于 时间 的变化"。
  • 对 离散时间，"时域"的 "函数或信号"，在 "各个离散时间点 的 数值" 都为已知。
  • 对 连续时间，则 "函数或信号" 在 "任意时间的数值" 都为已知。
  • 研究 "时域的信号" ，常会用 "示波器" 将 "信号" 转换为其 "时域的波形图"。
    
    大多数的示波器，还都有 "FFT" 功能，可将 "信号" 由 "时域波形" 分解到 "频域的一组主成分频点"。
    
    ” 两者相互间的变换:
    
    时域（信号 对 时间 的函数）和频域（信号 对 频率 的函数）的变换，在数学上是通过积分变换实现。
    
    对 "周期信号"， 可直接使用 FT(傅立叶变换)，对 "非周期信号" 则要用 "周期扩展"(使用 "拉普拉斯变换")。
• 信号 在 "频率域" 的表现
  • "频率越高" 说明 原生信号 的 "变化速度" 越 "快"；
  • "频率越低" 说明 "原生信号" 的 "变化速度" 越 "平缓"。
    
    "频率为0"，表示存在 "直流信号" 分量，没有变化。
  • "频率的 高低" 反应 "信号的变化" 的 "快慢"。
    
    "高频分量" 解释信号的 "突然变化" 部分，
    
    "低频分量" 决定信号的 "整体轮廓" 部分。

图像处理 与 FT

• 频域 反应 图像 在 "空域" 的 "灰度值" 的 "变化剧烈程度"。
  
  图像 的 "灰度值序列" 的 "变化速度"(也就是 图像的梯度大小)。
• 图像上

  • "边缘部分" 是 "突变部分"，"变化较快(边缘补0值作 预处理)"，
    
    因此反应在 "频域" 上， 是 "高频分量" ；
    
    "图像 的 噪声" 在 "大部分情况"，是"高频部分"；

  • 图像 "平滑变化" 的 "部分" 则为 "低频分量"。
    
    大部分图片的"正常区域"，都是"平滑变化"的。

  • FT(傅立叶变换) 提供 另外一种角度来观察图像:
    
    将 "图像" 由 "灰度值分布" 转化到 "频率分布" 上，
    
    图像的特征。傅里叶变换 提供一条 由 "空域到频率" 自由转换的途径。

  • 对图像处理，以下概念非常的重要：

    • 图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况 下指噪声，更多是两者的混合；
    • 低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息
    • 高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过
    • 低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过
    • 带通滤波器：使图像在 某一频带的 "部分的频率" 的 信息通过，其他 过低或过高 的，抑制。
    • 带阻滤波器： 是带通的"反"。

1. 傅里叶变换及其反变换
   
   1.0 什么是傅里叶变换
   • 什么是傅立叶变换？
     
     能将满足一定条件的某个函数, 表示成 三角函数( 正弦 和/或余弦函数) 或 "它们的积分" 的线性组合。
     
     在不同的研究领域，傅立叶变换 有 "多种不同的变体形式"，如 "连续傅立叶变换" 和 "离散傅立叶变换"。
   • 傅里叶变换,是 一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
     
     许多波形 可 作为 "信号的成分"，比如正弦波、方波、锯齿波等，
     
     傅立叶变换用 "正弦波" 作为 "信号的成分"。 "实质" 是将 一个信号 分离为 "无穷多" 的 正弦/复指数 信号的加成。
     
     也就是, 把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，
     
     那对于非周期信号，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，
     
     对比 "概率论" 的 "概率密度" —— 落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的;
     
     所以，傅里叶变换 后，横坐标 即为 分离出的正弦信号的频率，纵坐标 对应的是 "加权密度".

傅立叶变换有什么用呢？

举例说明：傅立叶变换 可将 一个时域信号 转换成 在 不同频率下 对应的 "振幅及相位"，

• 其频谱就是 时域信号 在 频域下的表现，而 "反傅立叶变换" 可将 "频谱再转换成 时域的信号。
  
  最简单最直接的应用就是时频域转换，
  
  比如在移动通信的LTE系统，要把接收的信号从时域变成频域，就需要使用FFT（快速傅里叶变换）。
• 对一个采集到的声音做 "傅立叶变化" 就能分出好几个频率的信号。
  
  比如南非世界杯时，南非人吹的 "呜呜主拉" 的声音太吵，那么对现场音频做傅立叶变化(对声音的数据做)，
  
  会得到一个展开式，然后找出 "呜呜主拉" 的 "特征 的 频率"，
  
  去掉展开式的那个频率的sin函数，再还原数据，
  
  就得到没有 "呜呜主拉 的 嗡嗡声" 的 "现场声音"。
• 对图片的数据 做 傅立叶，然后 增大 "高频信号" 的 "系数" 就可提高图像的 对比度。
  
  类似，相机"自动对焦" 就是通过 "**找图像的高频分量最大"的时候，就是对好。

1.1 为什么要在频率域研究图像增强？

• 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，
  
  在 频率域 变得非常普通.
• 滤波在频率域更为直观，它可以解释 "空间域滤波"的某些性质
  
  可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导,
  
  一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行

1.2 傅里叶变换及反转

1.2.1 一维连续傅里叶变换及反变换

单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为：

在这里插入图片描述

= 根号（-1）=±i

给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)：

在这里插入图片描述

1.2.2 二维连续傅里叶变换及反变换

二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为：

在这里插入图片描述

如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是对称的，即

F(u,v) = F(− u,−v)

傅里叶变换的频率谱是对称的

|F(u,v)| =| F(− u,−v)|

给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)：

在这里插入图片描述

1.2.3 一维离散傅里叶变换及反变换

单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,…,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为：

在这里插入图片描述

其中，u=0,1,2,…,M-1

从欧拉公式：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)：

在这里插入图片描述

其中，x=0,1,2,…,M-1

1.2.4 二维离散傅里叶变换及反变换

图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为：

在这里插入图片描述

u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1

给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y)：

在这里插入图片描述

x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1

注：u和v是频率变量，x和y是空间域图像变量

F(0,0)表示：

在这里插入图片描述

这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度级（M*N是总的像素点，f(x,y)是(x,y)点的灰度值，将所有的像素点的灰度值求和然后除以总的个数即为平均灰度值）

1.2.5 傅里叶变换的一维极坐标表示

在这里插入图片描述

幅度或频率谱为：

在这里插入图片描述

R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部

相角或相位谱为：

在这里插入图片描述

功率谱为：

在这里插入图片描述

f(x)的离散表示：

在这里插入图片描述

F(u)的离散表示：

在这里插入图片描述

1.2.6 傅里叶变换的二维极坐标表示

二维DFT的极坐标表示：

在这里插入图片描述

幅度或频率谱为：

在这里插入图片描述

R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部

相角或相位谱为：

在这里插入图片描述

功率谱为：

在这里插入图片描述

F(u,v)的原点变换：

在这里插入图片描述

用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心

u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1

1. 傅里叶变换的性质
   
   2.1 平移性
   
   以⇔表示函数和其傅里叶变换的对应性
   
   在这里插入图片描述
   
   注：u和v是频率变量，x和y是空间域图像变量
   
   公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心f(u,v) 移动到新的位置 f(u-uo,v-v0)
   
   公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心f(x,y) 移动到新的位置 f(x-x0,y-y0)
   
   公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值

当u0=M/2且v0=N/2,

在这里插入图片描述

带入（1）和（2），得到

在这里插入图片描述

2.2 分配律

傅里叶变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足：

在这里插入图片描述

2.3 尺度变换（缩放）

给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立：

在这里插入图片描述

2.4 旋转性

引入极坐标 x = r cosθ, y = rsinθ,u =ω cosϕ,v =ωsinϕ

将f(x,y)和F(u,v)转换为 f (r,θ ) 和F(ω,ϕ)。将它们带入傅里叶变换对得到：

在这里插入图片描述

f(x,y)旋转角度θ 0，F(u,v)也将转过相同的角度

F(u,v)旋转角度θ 0，f(x,y)也将转过相同的角度

2.5 周期性和共轭对称性

在这里插入图片描述

尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到f(x,y)

只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全确定

同样的结论对f(x,y)在空域也成立

如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性

在这里插入图片描述

其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭（当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数）

2.6 分离性

在这里插入图片描述

F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。

二维傅里叶变换的全过程

在这里插入图片描述

 先通过沿输入图像的每一行计算一维变换

 再沿中间结果的每一列计算一维变换

 可以改变上述顺序，即先列后行

 上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换

2.7 平均值

由二维傅里叶变换的定义：

在这里插入图片描述

所以，

在这里插入图片描述

上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级

2.8 卷积理论

卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带

大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积：

在这里插入图片描述

卷积定理：

在这里插入图片描述

2.9 相关性理论

相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域

 f(x,y)是原始图像

 h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）

 如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f中相应点的位置上达到最大

大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定义为：

在这里插入图片描述

f* 表示f的复共轭。对于实函数，f*＝f

相关定理：

在这里插入图片描述

自相关理论：

在这里插入图片描述

1. 快速傅里叶变换（FFT）
   
   采用快速傅里叶变换（FFT）算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。
   
   函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。和傅里叶变换作用一样。

3.1 为什么需要快速傅里叶变换？

人们想让计算机能处理信号 但由于信号都是连续的、无限的，计算机不能处理，于是就有了傅里叶级数、傅里叶变换，将信号由时域变到频域，把一个信号变为有很多个不同频率不同幅度的正弦信号组成，这样计算机就能处理了，但又由于傅里叶变换中要用到卷积计算，计算量很大，计算机也算不过来，于是就有了快速傅里叶变换，大大降低了运算量，使得让计算机处理信号成为可能。快速傅里叶变换是傅里叶变换的快速算法而已，主要是能减少运算量和存储开销，对于硬件实现特别有利。

在这里插入图片描述

对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)与 e− j2πux / M 相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2

快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算

FFT算法与原始变换算法的计算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需 要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：100

只考虑一维的情况，根据傅里叶变换的分离性可知，二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换得到

3.2 FFT算法基本思想

FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式：

在这里插入图片描述

3.3 FFT公式推导

在这里插入图片描述

假设M的形式是

M = 2n， n为正整数。因此，M可以表示为：M = 2K 。将M=2K带入上式：

在这里插入图片描述

特性：

一个M个点的变换，能够通过将原始表达式分成两个部分来计算

通过计算两个（M/2）个点的变换。得Feven(u)和 Fodd(u)

奇部与偶部之和得到F(u)的前(M/2)个值

奇部与偶部之差得到F(u)的后(M/2)个值。且不需要额外的变换计算

3.4 归纳快速傅立叶变换的思想

（1）通过计算两个单点的DFT，来计算两个点的DFT， （2）通过计算两个双点的DFT，来计算四个点的DFT，…，以此类推

（3）对于任何N=2m的DFT的计算，通过计算两个N/2点的DFT，来计算N个点的DFT

3.5 FFT算法举例

设：有函数f(x)，其N = 23 = 8,有：{f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)}

计算：

{F(0),F(1),F(2),F(3),F(4),F(5),F(6),F(7)}

解法：

首先分成奇偶两组，有：

{ f(0), f(2), f(4), f(6) }

{ f(1), f(3), f(5), f(7) }

为了利用递推特性，再分成两组，有：

{ f(0), f(4) }， { f(2), f(6) }

{ f(1), f(5) }， { f(3), f(7) }

对输入数据的排序可根据一个简单的位对换规则进行：

如用x表示f(x)的1个自变量值，那么它排序后对应的值可通过把x表示成二进制数并对换各位得到。例如N=23,f(6)排序后为f(3),因为6＝1102而0112 ＝3

把输入数据进行了重新排序，则输出结果是正确的次序。反之不把输入数据进行排序，则输出结果需要重新排序才能得到正确的次序

地址的排序：——按位倒序规则

例如：N = 23 = 8

在这里插入图片描述

2）计算顺序及地址增量：2n, n = 0,1,2…

在这里插入图片描述

参考文章：https://blog.csdn.net/EbowTang/article/details/39004979

图像处理系列笔记： https://blog.csdn.net/qq_33208851/article/details/95335809