[luogu3412]仓鼠找sugar II

题面在这里

题意

给定一棵树(\(n\le10^5\)),仓鼠随机选择起点和终点，之后从起点开始随机游走，每次都会等概率地选择和其相邻的任一道路，直到到达终点，求到达终点时步数的期望

sol

因为这一道题中的起点和终点都是不确定的，不好统计

于是先考虑终点固定的情况，此时我们把终点当作整棵树的\(root\)，在\(O(n)\)算法之前的陈述中，直接以根节点代指终点，不做说明

那么设\(f[x]\)表示节点\(x\)向根节点方向(即父亲方向)移动一步的期望步数

我们可以推出如下式子:

对于叶子节点:\(f[leaf]=1\)(只要再走一步就一定会走到其父亲)

对于根节点:\(f[root]=0\)(根本就不需要走)

对于其余节点(设\(d[x]\)表示其度数):$$f[x]=1+\frac{1}{d[x]}\times\sum_{son\in x}{(f[son]+f[x])}$$(有\(\frac{1}{d[x]}\)的概率走到\(x\)的儿子节点，再走回来)

上面的第三个式子再推一下:

\[f[x]=1+\frac{1}{d[x]}\times\sum_{son\in x}{f[son]}+\frac{d[x]-1}{d[x]}\times f[x]
\]

\[\frac{1}{d[x]}\times f[x]=1+\frac{1}{d[x]}\times\sum_{son\in x}{f[son]}
\]

\[f[x]=d[x]+\sum_{son\in x}{f[son]}
\]

这样就比较好求了，因为对于每一个结点\(x\)，有\(sz[x]\)个点必须经过它才能到达终点，

那么直接根据这个树形DP\(n\)次，每次中推出\(f[x]\)然后\(ans+=\sum_{i=1}^{n}f[i]\times sz[i]\)(\(sz[i]\)表示子树大小)就可以获得50分

接下来考虑\(O(n)\)的算法，稍作改进即可(接下来要说明的根节点和终点会有所不同)

我们考虑在所有情况下的\(f[x],sz[x]\)及其贡献

先以1号节点为根建立一棵有根树，对于每个节点维护其子树大小(\(s[x]\))和子树内度数和(\(sumd[x]\)),并令\(totd=\sum_{i=1}^{n}d[i]\)

该节点就是终点点:\(f[x]=0\)，\(sz[x]=n\),一次

终点在该节点的某一个儿子的子树\(v\)中：\(f[x]=totd-sumd[v]\),\(sz[x]=n-s[v]\),\(s[v]\)次

终点不在该节点的某一个儿子的子树中:

\(f[x]=sumd[x]\),\(sz[x]=s[v]\),\(n-s[u]\)次

最后对于每一个节点直接统计即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=998244353;
const int N=100010;
const int M=90000;
il ll read(){
	RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
	return data*w;
}

il ll poww(ll a,ll b){
	RG ll ret=1;
	for(a%=mod;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ret=ret*a%mod;
	return ret;
}

il void file(){
	//freopen("a.in","r",stdin);
	//freopen("a.out","w",stdout);
}

int n,rev,head[N],d[N],p[N],nxt[N<<1],to[N<<1],cnt,totd,ans;
il void add(int u,int v){
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
	d[v]++;
}

int sz[N],fa[N];
il void dfs(int u,int f){
	sz[u]=1;fa[u]=f;
	for(RG int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		RG int v=to[i];if(v==f)continue;
		dfs(v,u);sz[u]+=sz[v];d[u]+=d[v];
	}
}

int main()
{
	file();
	n=read();rev=poww(1ll*n*n%mod,mod-2);
	for(RG int i=1,u,v;i<n;i++){
		u=read();v=read();
		add(u,v);add(v,u);
	}

	for(RG int i=1;i<=n;i++)totd+=d[i];
	dfs(1,0);

	for(RG int u=1;u<=n;u++)
		for(RG int i=head[u];i;i=nxt[i]){
			RG int v=to[i];
			if(v==fa[u]){
				ans=(ans+1ll*d[u]*sz[u]%mod*(n-sz[u])%mod)%mod;
			}
			else{
				ans=(ans+1ll*(totd-d[v])*(n-sz[v])%mod*sz[v]%mod)%mod;
			}
		}

	printf("%lld\n",1ll*ans*rev%mod);
	return 0;
}