BZOJ_1712_[Usaco2007 China]Summing Sums 加密_矩阵乘法

Description

    那N只可爱的奶牛刚刚学习了有关密码的许多算法,终于,她们创造出了属于奶牛的加密方法.由于她们并不是经验十足,她们的加密方法非常简单:第i只奶牛掌握着密码的第i个数字,起始的时候是Ci(0≤Ci<90000000).加密的时候,第i只奶牛会计算其他所有奶牛的数字和,并将这个数字和除以98765431取余.在所有奶牛计算完毕之后,每一只奶牛会用自己算得的数字代替原有的数字.也就是说,
这样,她们就完成了一次加密.    在十一月,奶牛们把这个加密法则告诉了驼鹿卡门,卡门惊呆了.之后,在一个浓雾弥漫的平安夜,卡门与奶牛们:“你们的算法十分原始,很容易就被人破解.所以你们要重复这个加密过程T(1≤T≤1414213562)次,才能达到加密效果.”    这回轮到奶牛们惊呆了.很显然,奶牛们特别讨厌做同样的无聊的事情很多次.经过了漫长的争论,卡门和奶牛们终于找到的解决办法:你被刚来加密这些数字.

Input

    第1行输入N和T,之后N行每行一个整数表示初始的Ci.

Output

 
    共N行,每行一个整数,表示T次加密之后的Ci.

Sample Input

3 4
1
0
4

INPUT DETAILS:

Three cows, with starting numbers 1, 0, and 4; four repetitions of the
encryption algorithm.

Sample Output

26
25
29

OUTPUT DETAILS:

The following is a table of the cows' numbers for each turn:

Cows' numbers
Turn Cow1 Cow2 Cow3
0 1 0 4
1 4 5 1
2 6 5 9
3 14 15 11
4 26 25 29

HINT

N<=50000


分析:

设初始时总和为$sum$,发现每次操作后$sum$会乘上$(n-1)$。

对于第$i$个奶牛,从$(\begin{matrix}c[i]&sum-c[i]\end{matrix})$ 到$(\begin{matrix}sum-c[i]&sum*(n-1)-sum+c[i]=sum*(n-2)+c[i]\end{matrix})$

得到转移矩阵$(\begin{matrix} 0&n-1\\1&n-2 \end{matrix})$

然后矩阵乘法即可。

代码:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod=98765431,sum;
int n,t,a[50050];
struct Mat {
ll v[2][2];
Mat() { memset(v,0,sizeof(v));}
Mat operator*(const Mat &x)const {
Mat re;int i,j,k;
for(i=0;i<2;i++) {
for(j=0;j<2;j++) {
for(k=0;k<2;k++) {
(re.v[i][j]+=v[i][k]*x.v[k][j])%=mod;
}
}
}
return re;
}
};
Mat qp(Mat x,int y) {
Mat I;
I.v[0][0]=I.v[1][1]=1;
while(y) {
if(y&1ll) I=I*x;
x=x*x;
y>>=1ll;
}
return I;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&t);
Mat x; x.v[0][0]=0; x.v[0][1]=n-1; x.v[1][0]=1; x.v[1][1]=n-2;
Mat T=qp(x,t);
int i;
for(i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
sum+=a[i];
}
for(i=1;i<=n;i++) {
printf("%lld\n",(a[i]*T.v[0][0]%mod+(sum-a[i])%mod*T.v[1][0]%mod)%mod);
}
}

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