bzoj 1004 Cards 组合计数

这道题考察的是组合计数（用Burnside，当然也可以认为是Polya的变形，毕竟Polya是Burnside推导出来的）。

这一类问题的本质是计算置换群(A,P)中不动点个数！（所谓不动点，是一个二元组(a,p)，a∈A，p∈P ，使得p(a)=a，即a在置换p的作用后还是a）。

Polya定理其实就是告诉了我们一类问题的不动点数的计算方法。

对于Burnside定理的考察，我见过的有以下几种形式（但归根结底还是计算不动点数）：

　　1、限制a(a∈A)的特点，本题即是如此（限制了各颜色个数，可以用DP来统计（以前我们直接用c^k来计算某置换的不动点，c是颜色总数，k是循环节个数））

　　2、让P的数量高出暴力的范围，（比如经典的项链染色问题，或者P就是一个对称群（包含所有置换）），此时就必须寻找数学规律，不能硬来。项链染色这种可以用欧拉函数优化；对于图的同构计数（它的置换群是一个对称群），先将置换按照其格式分类（见《组合数学》，可以想象具有相同格式的置换的不动点也是相同的），然后再观察某一特定格式的置换的不动点数是多少（是有规律的）。

注：应用定理解题时要保证置换成群，本题中，结合律是肯定的，输入说明中已经说了，该置换集合满足：封闭性，逆元，所以我们自己再添一个单位元（(1)(2)...(m))就行了。

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     Problem: 1004
     User: idy002
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:116 ms
     Memory:844 kb
 ****************************************************************/

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #define maxn 65
 using namespace std;

 int mpow( int a, int b, int n ) {
     a %= n;
     int rt;
     for( rt=; b; b>>=,a=(a*a)%n )
         if( b& ) rt=(rt*a)%n;
     return rt;
 }
 int inv( int a, int n ) {
     return mpow(a,n-,n);
 }

 int sp[maxn], tot;
 bool vis[maxn];
 void split( int n, int *a ) {
     tot = ;
     memset( vis, , sizeof(vis) );
     for( int i=; i<=n; i++ ) {
         if( vis[i] ) continue;
         tot++;
         sp[tot] = ;
         int cur = i;
         do {
             sp[tot]++;
             vis[cur] = true;
             cur = a[cur];
         } while( !vis[cur] );
     }
 }

 int n, sr, sg, sb, m, p, ans;
 int a[maxn];
 int dp[][][];

 int dodp() {
     memset( dp, , sizeof(dp) );
     dp[][][] = ;
     for( int i=; i<=tot; i++ ) {
         int sz = sp[i];
         for( int r=sr; r>=; r-- )
             for( int g=sg; g>=; g-- )
                 for( int b=sb; b>=; b-- ) {
                     int & dv = dp[r][g][b];
                     dv = ;
                     if( r>=sz ) dv += dp[r-sz][g][b];
                     if( g>=sz ) dv += dp[r][g-sz][b];
                     if( b>=sz ) dv += dp[r][g][b-sz];
                     dv %= p;
                 }
     }
     return dp[sr][sg][sb];
 }
 void update( int n, int *a ) {
     split(n,a);
     ans += dodp();
     if( ans>p ) ans -= p;
 }

 int main() {
     scanf( "%d%d%d%d%d", &sr, &sg, &sb, &m, &p );
     n = sr+sg+sb;
     for( int i=; i<=m; i++ ) {
         for( int j=; j<=n; j++ )
             scanf( "%d", a+j );
         update(n,a);
     }

     for( int i=; i<=n; i++ )
         a[i] = i;
     update(n,a);

     ans *= inv(m+,p);
     ans %= p;
     printf( "%d\n", ans );
 }

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