Codeforces Round 911 (Div. 2) D

D. Small GCD

题意

定义$f(a,b,c)$为$a,b,c$中较小两个数的$gcd$,给定数组$a_{1...n}$,求

\[\begin{aligned}

\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^{n}\sum\limits_{k=j+1}^{n}f(a_i,a_j,a_k)

\end{aligned}
\]

题解

显然可以先排序,不会影响结果,排完序后$a_k$就是最大的,不会对$gcd(a_i,a_j)$产生影响.

所以当我们去枚举中间的$a_j$时,那么对于$a_j$来说,产生$(n-j)\times \sum\limits_{i = 1}^{n-1}gcd(a_i,a_j)$ 的贡献,其中$(n-j)$是因为后面的$(n-j)$个$a_k$都不会对$gcd(a_i,a_j)$产生影响,所以答案最终就是$\sum\limits_{i=1}^{n-2}\sum\limits_{j=i+1}^{n-1}gcd(a_i,a_j) \times (n-j)$,而这样做的复杂度是$O(n^2logm)$,其中$m$是$\max\limits_{1\leq i\leq n}\{a_i\}$,而这样是会超时的.

到了这里,就该推出今天刚了解的欧拉反演了!

欧拉反演:即$n$的所有因子的欧拉函数和为n.

\[\begin{aligned}

\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n

\end{aligned}
\]

将$n$换成其他:

\[\begin{aligned}
gcd(i,j) = \sum\limits_{d|gcd(i,j)}\varphi(d) = \sum\limits_{d|i}\sum\limits_{d|j}\varphi(d)
\end{aligned}
\]

则:

\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^{n}gcd(i,n) = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\varphi(d)=\sum\limits_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)
\end{aligned}
\]

即:

\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^{n}gcd(i,n)=\sum\limits_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)
\end{aligned}
\]

因为$1\sim n$里面含有因子为$d$一共有$\frac{n}{d}$个,所以这里就直接替换了,不过在这题里面从$a_1 \sim a_{j-1}$里面并不知道含有$d$作为因子数的有多少,所以我们需要维护$a_1 \sim a_{j-1}$中每个数的所有因子的个数$cnt_d$,那么要计算$1 \sim j-1$的$gcd$则可以替换成:

\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^{j-1}gcd(a_i,a_j) = \sum\limits_{d|a_j}cnt_d\varphi(d)
\end{aligned}
\]

对于每一个数,先预处理出所含的约数,然后维护$cnt_d$,就可以直接利用公式求和了.

ACcode:

#include <bits/stdc++.h>

#define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<'\n';

using namespace std;

using i64 = long long;

typedef pair<i64, i64> PII;

vector<int> euler_range(int n) {

	vector<int> phi(n + 1), prime;

	vector<bool> is_prime(n + 1, true);

	is_prime[1] = 0, phi[1] = 1;

	for (int i = 2; i <= n; i++) {

		if (is_prime[i]) prime.push_back(i), phi[i] = i - 1;

		for (int j = 0; j < (int)prime.size() && i * prime[j] <= n; j++) {

			is_prime[i * prime[j]] = 0;

			if (i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);

			else {

				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];

				break;

			}

		}

	}

	return phi;

};

constexpr int N = 1E5;

auto phi = euler_range(N);

vector<int> fac[N + 1];

void solve() {

	int n;

	cin >> n;

	vector<i64> a(n), b;

	for (auto &i : a) cin >> i;

	ranges::sort(a);

	i64 ans = 0;

	vector<int> cnt(N + 1);

	for (int j = 0; j < n; j ++) {

		for (auto d : fac[a[j]])

			ans += 1ll * phi[d] * (n - j - 1) * cnt[d];

		for (auto d : fac[a[j]])

			cnt[d] ++;

	}

	cout << ans << '\n';

}

int main() {

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin.tie(nullptr);

	for (int i = 1; i <= N; i ++)

		for (int j = 1; j <= N / i; j ++)

			fac[i * j].push_back(i);

	int T;

	cin >> T;

	while (T--) {

		solve();

	}

	return 0;

}

参考资料:

欧拉反演欧拉定理 - emptyset - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

欧拉函数|(扩展)欧拉定理|欧拉反演 - Morning_Glory - 博客园 (cnblogs.com)

Codeforces Round 911 (Div. 2) A-E - 知乎 (zhihu.com)

欧拉函数 - OI Wiki (oi-wiki.org)

积性函数 - YueTQ's Blog - 洛谷博客 (luogu.com.cn)