T2 的莫反式子

正在实现，不知道对不对，但是先放这，哪个大佬发现问题了和我说下

设

\[f(l)=\sum\cdots\sum[\gcd=1,\text{lcm}=l]
\]

\[g(l)=\sum\cdots\sum[\gcd=1,\text{lcm}\mid l]
\]

\[h(l)=\sum\cdots\sum[\text{lcm}\mid l]
\]

则

\[g(l)=\sum_{l\mid d}f(d)
\]

\[f(l)=\sum_{l\mid d}\mu(\frac{d}{l})g(d)
\]

\[h(l)=\sum_{d}g(d)=\sum_{1\mid d}g(d)
\]

\[g(l)=\sum_{1\mid d}\mu(d)h(d)=\sum_{d}\mu(d)h(d)
\]

\[f(l)=\sum_{l\mid d}\mu(\frac{d}{l})\sum_{e}\mu(e)h(e)
\]

UPD：确实不对，下面这版是对的

设

\[f(g,l)=\sum\cdots\sum[\gcd=g,\text{lcm}=l]
\]

\[g(g,l)=\sum\cdots\sum[\gcd=g,\text{lcm}\mid l]
\]

\[h(l)=\sum\cdots\sum[\text{lcm}\mid l]
\]

则

\[g(1,l)=\sum_{d\mid l}f(1,d)
\]

\[f(1,l)=\sum_{d\mid l}\mu(d)g(1,\lfloor{\frac{l}{d}}\rfloor)
\]

\[\color{white}h(l)=\sum_{i}g(i,l)\rightarrow \sum\cdots\sum[\text{lcm}\mid l]\rightarrow l=k\text{lcm},\forall\gcd=i\rightarrow l=\frac{1}{i}k\text{lcm}\rightarrow il=k\text{lcm}\rightarrow h(l)=\sum_{i}g(1,il)
\]

内层求法：设

\[l=\sum_{i}p_{i}^{a_{i}}
\]

则

\[h(l)=C^{n}_{\sum_{i}a_{i}}
\]

外层求法：

\[\gcd\mid m
\]

\[\text{lcm}=m-\gcd
\]

\[\begin{cases}\gcd=g\\\text{lcm}=m-g\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}\gcd=1\\\text{lcm}=\frac{m-g}{g}\end{cases}
\]

\[\text{ans}=\sum_{k\mid m}f(\frac{m-k}{k})
\]

总之就是 先处理外层，再分解因子，提前处理好 \(\sum_{e}\mu(e)h(e)\)，\(h(e)\) 内部分解质因数求和，再统计答案即可. 复杂度有点吓人