CF1834

A

给出一个由 \(1,-1\) 组成的序列。一次操作可以让一个数变相反。

要多少次操作，才能让整个序列和非负且积等于 \(1\)。

大 氵题。

B

定义两个数 \(A,B\) 有一个价值：每一位上的数字的差的绝对值相加。（位数不足用前导零补齐）

给出区间 \(l,r\)，问在 \([l,r]\) 内选两个数，最大的价值是多少。

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找出 \(l,r\) 最大的相等前缀 \(k\)。

\(l,r\) 的最高位、次高位、第三高位、……、第 \(k\) 高位，都相等，而第 \(k+1\) 位不相等。

前 \(k\) 位一定都相等。我们让两数的第 \(k+1\) 位也不变，然后小数之后的位都选 \(9\)，大数之后的位都选 \(0\)。

答案是 \(r_{k+1}-l_{k+1}+9\cdot (n-k-1)\)。

C

初始给出两个字符串。

Alice 和 Bob 轮番行动，Alice 先。

Alice 每次必须修改一个字符，Bob 每次必须挑一个字符串翻转。

可能在某次 Alice 或者 Bob 操作后，两个字符串相等了。游戏结束。

Alice 的目标是最小化这个游戏的回合数（Alice 和 Bob 各走一次算两回合）。Bob 的目标相反。

问：回合数最小化是多少？

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把翻转过的字符串称作反字符串，没有翻转过/翻转抵消的字符串称作正字符串。

注意到最终匹配只有两种情况：两正字符串匹配，一正一反匹配。

分两种情况讨论即可。

D

每个学生都有一个学习区间 \([l_i,r_i]\)。初始所有手的高度为 \(0\)。

老师每次询问一个问题 \(x\)，不限次数。每个问题至多询问一次。

如果 \(x\) 在一个学生的学习区间中，则这个学生把手举高 \(1\) 单位；否则降低 \(1\) 单位。（高度可以是负数）

你现在就是老师，可以操控每次的询问。问：所有询问之后，手最高的学生和手最低的学生，高度差最大是多少？

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考虑枚举手最高的学生和手最低的学生 \(a=[l_{high},r_{high}],b=[l_{low},r_{low}]\)。

那么最终的答案就是 \(2\times (|a|-|a\cap b|)\)。（所有 \(a\) 会 \(b\) 不会的问题个数，乘 \(2\) 是因为一个上一个下要两倍）

现在考虑对于每个区间 \(a\)（\(a\) 枚举），求出一个区间 \(b\) 使得 \(2\times (|a|-|a\cap b|)\) 最大，其实就是让交最小。

如果 \(b\) 被 \(a\) 包含，此时一定让 \(b\) 的长度最小。

如果 \(b\) 和 \(a\) 交错，且在 \(a\) 的左端点交错，此时一定让 \(b\) 的右端点越小越好。（当然，最好就是小到连 \(a\) 的左端点都够不上，此时交的长度为 \(0\)）

如果 \(b\) 和 \(a\) 在 \(a\) 的右端点交错，此时让 \(b\) 的左端点越大越好。

容易发现，无论对于哪一个区间来说，我们都只需要找到 \(n\) 个中长度最小的区间、右端点最小的区间、左端点最大的区间。不可能出现区间 \(a_1\) 认为如果在包含的情况下，\(b\) 是最优的；但是 \(a_2\) 不这么认为。

问题：

如果 \(a_1\) 认为如果在包含的情况下，\(b\) 是最优的；但是 \(a_2\) 并不包含 \(b\)（交错），这个时候用 \(b\) 和 \(a_2\) 求答案，不就出错了吗？

并不会。因为这么做的答案肯定不会比我们另外两个交错情况下求出的区间，再和这个 \(a_2\) 求答案更优。这个题目只要求不漏掉，不要求不重复。

E

求出最小的数，使得它不能表示为给定序列中任何一个连续子串的最小公倍数。

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容易发现，在左端点固定的时候，若右端点向右移动，则区间的 \(\operatorname{lcm}\) 值要么不变，要么至少乘 \(2\)。

而对于一个质数，它不可能成为任意两个与它不等的数的 \(\operatorname{lcm}\)，而第 \(3\times 10^5+1\) 个是 \(4256233\)，所以在所有区间的 \(\operatorname{lcm}\) 中，那些大于 \(4256233\) 的是没有用的。

因此，记 \(V=4256233\)，则当左端点固定的时候，不同的有用 \(\operatorname{lcm}\) 只有 \(\log V\) 个。

考虑从右向左移动移动左端点，并且维护以当前点为左端点的不同 \(\operatorname{lcm}\)。

具体地，可以用两个 set \(A,B\) 分别维护当前存在的不同 \(\operatorname{lcm}\) 和所有可能有用的 \(\operatorname{lcm}\)，左端点左移到 \(i\) 的时候，需要将 \(a_i\) 放入 \(A\)，并遍历 \(A\) 中本来就存在的区间，对 \(a_i\) 取 \(\operatorname{lcm}\) 后重新放入 \(A\)。每次更新完之后，就把当前 \(A\) 中的元素放入 \(B\) 中。最后对 \(B\) 中的元素求 \(\operatorname{mex}\) 即可。