「2015南阳CCPC D」金砖 解题报告

金砖

Problem

有一个长度为L的板凳，可以放一排金砖，金砖不能重叠。特别的，摆放的金砖可以超出板凳，前提是必须保证该金砖不会掉下去，即该金砖的重心必须在板凳上。

每块金砖都一个长度和价值，且金砖是规则的长方体。请计算最多可以摆放多少价值的金砖。

Input Data

第一行，两个整数N和L，分别表示金砖的数量和板凳的长度。

接下来N行，每行两个整数，ai和vi，分别表示第i块金砖的长度和价值。

Output Data

一行，一个整数，表示最大价值。

Input Sample 1

3 7
4 1
2 1
8 1

Output Sample 1

2

Input Sample 2

3 5
4 1
2 2
8 9

Output Sample 2

11

Input Sample 3

1 1
10 3

Output Sample 3

3

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思路

要做这道题，得先掌握背包的一般思路，这里就不细讲了。

先说下思路。

At first,处理奇数长度的情况（没考虑清楚会WA一个点），因为对于奇数长度金砖，重心位置会出现小数的情况，这就让人很难堪。不过，可以把所有相关长度都乘2，或理解为以0.5为单位长度，这样就不用管奇数长度的情况了。

Secondly,咋处理能长出板凳的情况？？？直接按题目思路不好考虑，就把它转换一下吧。首先，我们很容易得知，最边上的两块要最靠边，及刚好不掉下去，这样可以腾出更大的空间给放在中间的金砖s。然后呢？有些人可能会想预处理出所有不超过板凳长度能放多少价值，再枚举两边的金砖，最后取最大值。However,重复取金砖的情况怎么考虑？？？其实我们可以当做最靠边的金砖长度打五折，或者说有两个金砖长度折半，具体实现就是把f数组再开一维记录已经取了几个“半价“金砖，最后取最大值即可。

Finally,还要考虑长度远大于L的金砖（更严谨地说，就是指长度 > 2 * L的金砖），它们即使“半价”处理也无法放上板凳，但是实际上可以把金砖的重心刚好放在板凳上，两边尽管长出去。好在这种情况会使金砖独占板凳，所以说直接用v来更新ans的值。

具体实现就在下面啦：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 4005
#define LL long long

int N, L;
LL f[MAXN];

int main(){
    scanf( "%d%d", &N, &L ); L *= 2;
    LL ans(0);//注意开long long !important
    for ( int i = 1; i <= N; ++i ){
        LL a, v;
        scanf( "%lld%lld", &a, &v );
        a *= 2;
        if ( a > L * 2 ) ans = max( ans, v );
        else
            for ( int j = L; j >= 1; --j ){//注意零一背包要倒过来
                for ( int k = 0; k <= 2; ++k ){
                    if ( j >= a ) f[j][k] = max( f[j][k], f[j - a][k] + v );//放在中间
                    if ( k && j >= a / 2 ) f[j][k] = max( f[j][k], f[j - a / 2][k - 1] + v );//放在两边，既“半价处理”
                    ans = max( ans, f[j][k] );//更新ans的值
                }
            }
    }
    printf( "%lld", ans );
    return 0;
}

撒花！（刚好下课）