CF1272D. Remove One Element 题解 动态规划

题目链接：http://codeforces.com/contest/1272/problem/D

题目大意：

给你一个长度为 \(n\) 的数组，你最多删除一个元素（也可以不删），求此条件限制下的最长上升子串长度。

解题思路：

本题涉及算法：动态规划。

首先这里有一个条件“你最多可以删除一个元素”，这个条件会造成我们很多的困扰，所以为了避免困扰，我们先尝试在没有这个条件的情况下解决问题。

在我们没有删除元素的权限下，数组 \(a\) 中的 \(n\) 个元素是固定的，所以此时我们可以定义状态 \(f[i]\) 表示以 \(a[i]\) 结尾并且包含 \(a[i]\) 的最长上升子串的长度，那么我们可以发现（设数组坐标从 \(1\) 开始）：

\(f[1]=1\)；

当 \(i \gt 1\) 时，

• 如果 \(a[i-1] < a[i]\) ，则 \(f[i] = f[i-1]+1\)
• 否则，\(f[i]=1\)

代码实现：

f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
    if (a[i-1] < a[i]) f[i] = f[i-1]+1;
    else f[i] = 1;
}

然后我们需要求的最长上升子串长度就是所有 \(f[i]\) 中最大的那个。

稍等一下，我们暂时还是不加上“你最多可以删除一个元素”这个条件。

在加上这个条件之前，我们再定义一个状态 \(g[i]\) 表示以 \(a[i]\) 开头并且包含 \(a[i]\) 的最长上升子串的长度，那么，我们可以得到状态转移方程：

\(g[n] = 1\)；

当 \(i < n\) 时，

• 如果 \(a[i] < a[i+1]\)，则 \(g[i] = g[i+1]+1\)；
• 否则，\(g[i] = 1\)

代码实现（注意 \(g[i]\) 需要从 \(n\) 到 \(1\) 反着推）：

g[n] = 1;
for (int i = n-1; i >= 1; i --) {
    if (a[i] < a[i+1]) g[i] = g[i+1]+1;
    else g[i] = 1;
}

那么我们求完 \(f[i]\) 和 \(g[i]\) 之后呢，我们再来加回“你最多可以删除一个元素”这个条件。

首先，如果我们不删除元素，那么答案就是所有 \(f[i]\) 中的最大值，我们开一个变量 \(ans = \max(f[i])\)。

其次，如果我们删除元素的坐标是 \(i\) ，我们假设删除元素后的最长上升子串对应为 \(a[l]\) 到 \(a[r]\)，

那么如果 \(i\) 不满足 \(l < i < r\) 的条件，那么我删或者不删 \(a[i]\) 对我答案丝毫不影响（仍然是 \(ans = \max(f[i])\)）。

那么什么时候会对答案有影响呢？

就是当 \(1 < i < n\) 且 \(a[i-1] < a[i+1]\) 的时候，我删除 \(a[i]\) 能够使得 \(f[i-1] + g[i+1] > ans\) 的时候，说明删除元素 \(a[i]\) 达到了增长最长上升子串的效果，此时我们更新 \(ans = f[i-1] + g[i+1]\) 。

综上所述，答案应该是

• \(\max(f[i])\) （其中 \((1 \le i \le n)\)）
  
  和
• \(\max(f[i-1]+g[i+1])\) （其中 \(1 \lt i \lt n\) 且 \(a[i-1] < a[i+1]\)）

的较大值。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 200020;
int n, a[maxn], f[maxn], g[maxn], ans;
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (a[i-1] < a[i]) f[i] = f[i-1]+1;
        else f[i] = 1;
    }
    g[n] = 1;
    for (int i = n-1; i >= 1; i --) {
        if (a[i] < a[i+1]) g[i] = g[i+1]+1;
        else g[i] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) ans = max(ans, f[i]);
    for (int i = 2; i < n; i ++) if (a[i-1] < a[i+1]) ans = max(ans, f[i-1] + g[i+1]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}