基于GMC/umat的复合材料宏细观渐近损伤分析（一）

近期在开展基于GMC/umat的复合材料宏细观渐近损伤分析，一些技术细节分享如下：

1.理论基础

针对连续纤维增强复合材料，可以通过离散化获得如下的模型：

（a）（b）（c）

图1 连续纤维增强复合材料细观离散化（a）代表性体积单元示意图（b）2*2子胞划分（c）Nr*Nb子胞划分

在子胞中采用一阶线性位移模式：

　　子胞的应变由几何方程给出：

　　单胞的平均应变可由体积平均给出：

本构关系如下所示：

　　单胞的平均应力可由体积平均给出：

　　需要注意的是，由于采用的是线性位移模式，则子胞内为常应变和常应力。子胞内应变为子胞平均应变，而应力为平均应力。

由子胞边界的位移连续可以得到单胞应变与子胞应变的关系：

　　

　　写成矩阵形式如下：

　　由子胞间的应力连续可得到单胞应力与子胞应力的关系，如下所示：

　　为了进一步包含子胞的损伤信息，进而开展损伤后力学分析，为每个子胞分配一个状态变量 ，其表征了损伤的状态，0 为未损伤，0.9999 为损伤。从而可推导出如下考虑损伤的子胞间应力连续方程：

　　

　　写成矩阵形式有：

　　将子胞位移连续与应力连续方程合并，可得如下完备的通用单胞计算模型：

　　求解可得：

　　将子胞应变矩阵分解为子矩阵 ：

　　由此可获得任意子胞的应变表达式：

　　可获得复合材料宏观本构关系：

2.umat实现（Fortran代码）

以下为 usermat 接口及主程序，主要包含参数传递、当前刚度（考虑损伤）计算、切线刚度矩阵赋值、更新应力，考虑篇幅，星号为部分省略区，只给出关键部分。

 *deck,usermat USERDISTRIB parallel gal
 subroutine usermat(
 & matId, elemId,kDomIntPt, kLayer, kSectPt,
 & ldstep,isubst,keycut,
 ****************************************************
 ****************************************************
 c------------------------------------.自定义变量声明-------------------------------------
 real* Q(,),mic_sig(,,),mic_dam(,),mic_dam2(),sstrain(,)
 INTEGER i,j,ii,jj,KK1,Kk2,Nb,Nr
 real* ex_f,ey_f,ez_f,gxy_f,gxz_f,gyz_f,prxy_f,prxz_f,pryz_f
 & ,s_f(,),c_f(,),
 & ex_m,prxy_m,g_m,s_m(,),c_m(,)
 real* vf,k1,a,b,L,H
 real* cell_H(),cell_L()
 integer cforcm(,)
 real* mac_test_s(,),mac_e(,),s_temp(,,)
 character()::num
 real* xt,xc,s,xt_f,xc_f
 real* dam_ori(,)
 c-------------------------------------动态数组
 real (kind=), allocatable:: ag(:,:), agg(:,:)
 allocate(ag(,),agg(,))
 ****************************************************
 ****************************************************
 c------------------------------------.目前刚度计算-----------------------------------------
 do i=,
 sstrain(i,)=strain(i)
 end do
 call mic_sig_cal(sstrain,c_f,c_m,cell_H,cell_L,
 & cforcm,mic_dam,mic_sig)
 call mic_dam_cal(mic_sig,cforcm,xt,xc,s,xt_f,
 & xc_f,cell_L,cell_H,mic_dam,dam_ori)
 mac_test_s=.
 call mac_con_cal(c_f,c_m,cell_H,cell_L,
 & cforcm,mic_dam,mac_test_s)
 Q=mac_test_sc------------------------------------.一致切线算子矩阵----------------------------------
 dsdePl=Q
 c------------------------------------.更新应力----------------------------------
 DO Kk1=, ncomp
 DO Kk2=, ncomp
 stress(Kk2)=stress(Kk2)+dsdePl(Kk2,Kk1)*dStrain(Kk1)
 END DO
 END DO
 ****************************************************
 ****************************************************
 RETURN
 END
 c------------------------------------------------------------------------------------------------

　　以下为主要子程序之细观应力计算：

 subroutine mic_sig_cal(sstrain,c_f,c_m,cell_H,cell_L,
 & cforcm,mic_dam,mic_sig)
 #include "impcom.inc"
 real* sstrain(,),mic_sig(,,),mic_dam(,)
 integer Nb,Nr
 real* c_f(,),c_m(,)
 real* cell_H(),cell_L()
 integer cforcm(,)
 real* ag(,),bg(,)
 real* bgg(,)
 real* temp(,)
 real* mic_eps(,)
 integer i,j,k,ii,jj,kk,iii,jjj,kkk,countt
 ****************************************************
 ****************************************************
 c eps12
 do j=,Nb
 countt=countt+
 do i=,Nr
 ii=(i-)*Nb+j
 ag(countt,(ii-)*+)=cell_L(i)
 end do
 bg(countt,)=.
 end do****************************************************
 ****************************************************
 c sig21
 do j=,Nb
 do i=,Nr-
 countt=countt+
 temp=.
 ii=(i-)*Nb+j
 iii=(i+-)*Nb+j
 if (cforcm(i,j).eq.)then
 temp(,(ii-)*+:(ii-)*+)=c_f(,:)*(-mic_dam(i,j))
 else
 temp(,(ii-)*+:(ii-)*+)=c_m(,:)*(-mic_dam(i,j))
 end if
 if(cforcm(i+,).eq.)then
 temp(,(iii-)*+:(iii-)*+)=-*c_f(,:)*(-mic_dam(i,j))
 else
 temp(,(iii-)*+:(iii-)*+)=-*c_m(,:)*(-mic_dam(i,j))
 end if
 ag(countt,:)=temp(,:)
 bg(countt,:)=.
 end do
 end do
 ****************************************************
 ****************************************************
 RETURN
 END
 c----------------------------------------------------------------------------------

以下为主要子程序之细观损伤计算：

 subroutine mic_dam_cal(mic_sig,cforcm,xt,xc,s,xt_f,
 & xc_f,cell_L,cell_H,mic_dam,dam_ori)
 #include "impcom.inc"
 integer i,j,k
 real* mic_sig(,,) ,mic_dam(,),dam_ori(,)
 integer cforcm(,)
 real* cri
 real* cri_flag,xt,xc,s,f1,f11,f44,f12
 real* xt_f,xc_freal* matrix_f
 real* cell_H(),cell_L()
 ****************************************************
 ****************************************************
 if( (cforcm(i,j).eq.).and.
 & ( mic_sig(i,j,).ge.(1.0*xt).or.
 & mic_sig(i,j,).le.(-1.0*xc) ) ) then
 mic_dam=0.9999
 dam_ori(i,j)=0.9999
 end if
 ****************************************************
 ****************************************************
 if( (cforcm(i,j).eq.).and.
 & ( (mic_sig(i,j,).ge.xt_f*1.0).or.
 & (mic_sig(i,j,).le.xc_f*1.0)) ) then
 mic_dam=0.9999
 dam_ori(i,j)=0.9999
 end if
 end do
 end do
 RETURN
 END
 c---------------------------------------------------------------------

以下为主要子程序之宏观刚度计算：

 subroutine mac_con_cal(c_f,c_m,cell_H,cell_L,
 & cforcm,mic_dam,mac_test_s)
 #include "impcom.inc"
 real* c_f(,),c_m(,),cell_H(),cell_L(),
 & mic_dam(,),mac_test_s(,)
 integer cforcm(,)
 real* ag(,),ag_inv(,),a(,),bg(,)
 real* temp(,),temp_a(,),temp_c(,)
 real* temp_ca(,)
 integer i,j,k,ii,jj,kk,iii,jjj,kkk,countt
 integer Nb,Nr
 ****************************************************
 ****************************************************
 c sig21do j=,Nb
 do i=,Nr-
 countt=countt+
 temp=.
 ii=(i-)*Nb+j
 iii=(i+-)*Nb+j
 if (cforcm(i,j).eq.)then
 temp(,(ii-)*+:(ii-)*+)=c_f(,:)*(-mic_dam(i,j))
 else
 temp(,(ii-)*+:(ii-)*+)=c_m(,:)*(-mic_dam(i,j))
 end if
 if(cforcm(i+,).eq.)then
 temp(,(iii-)*+:(iii-)*+)=-*c_f(,:)*(-mic_dam(i,j))
 else
 temp(,(iii-)*+:(iii-)*+)=-*c_m(,:)*(-mic_dam(i,j))
 end if
 ag(countt,:)=temp(,:)
 bg(countt,:)=.
 end do
 end do
 ****************************************************
 ****************************************************
 temp_ca=matmul(temp_c,temp_a)
 mac_test_s=mac_test_s+cell_L(i)*cell_H(j)*temp_ca
 end do
 end do
 return
 end

3.参考文献

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[2] Aboudi J. Elastoplasticity theory for porous materials ☆[J]. Mechanics of Materials. 1984, 3(1): 81-94.

[3] Aboudi J. Closed form constitutive equations for metal matrix composites[J]. International Journal of Engineering Science. 1987, 25(9): 1229-1240.

[4] Aboudi J. Micro-Failure Prediction of the Strength of Composite Materials under Combined Loading[J]. Journal of Reinforced Plastics & Composites. 1991, 10(5): 495-503.

[5] 雷友锋. 纤维增强金属基复合材料宏-细观统一本构模型及应用研究[D]. 南京航空航天大学, 2002.

[6] 孙志刚. 复合材料高精度宏-细观统一本构模型及其应用研究[D]. 南京航空航天大学, 2005.

[7] 高希光. 陶瓷基复合材料损伤耦合的宏细观统一本构模型研究[D]. 南京航空航天大学, 2007.

[8] Tang Z, Zhang B. Prediction of biaxial failure envelopes for composite laminates based on Generalized Method of Cells[J]. Composites Part B Engineering. 2012, 43(3): 914-925.

[9] 唐占文. 考虑界面相的复合材料宏-细观渐进损伤解析模型研究[D]. 哈尔滨工业大学, 2013.

[10]Pineda E J, Bednarcyk B A, Waas A M, et al. Progressive failure of a unidirectional fiber-reinforced composite using the method of cells: Discretization objective computational results[J]. International Journal of Solids & Structures. 2013, 50(9): 1203-1216.