积性函数，线性筛入门 HDU - 2879

HDU - 2879HeHe

　　题意：He[N]为[0,N−1]范围内有多少个数满足式子x²≡x (mod N),求HeHe[N]=He[1]×……×He[N]

　　我是通过打表发现的he[x]=2^k,k为x是质因子个数，不过这是可以通过积性函数证明的。

　　关于积性函数的定义：

对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时,f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若对于某积性函数 f(n) ，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。

　　引用证明，HDU 2879 HeHe （素数+积性函数及证明）

　　知道了，he[x]=2^k之后，接下来求hehe[n]其实就是求2^k1+k2+...kn，具体实现上，有好几种方法。

　　普通的埃氏筛，对于每个数它的每个质因子就在指数贡献一个了1，所以我们可以先把质数筛出来，然后再看n范围内包含有多少个这个质数的倍数。

 #include<cstdio>
 typedef long long ll;
 const int N=;
 bool nop[N]={false};
 int pn,pri[N/];
 void init()
 {
     pn=;
     for(int i=;i<N;i++)
     {
         if(!nop[i])
         {
             pri[pn++]=i;
             for(int j=i<<;j<N;j+=i)
                 nop[j]=true;
         }
     }
 }
 ll pow(int b,int mod)
 {
     ll ans=,a=2ll;
     while(b)
     {
         if(b&)
             ans=(ans*a)%mod;
         a=(a*a)%mod;
         b>>=;
     }
     return ans%mod;
 }
 int main()
 {
     init();
     int t,n,m;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         int sum=;
         for(int i=;i<pn&&pri[i]<=n;i++)
             sum+=n/pri[i];
         printf("%lld\n",pow(sum,m));
     }
     return ;
 }

埃氏筛

　　第二个线性筛（欧拉筛），为什么欧拉筛是O(n),，可以看这个证明线性筛（欧拉筛）然后，前面有证明he是积性函数，所有我们就可以通过欧拉筛先把he预处理处理。

#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int N=;
bool nop[N]={false};
int pn,pri[N/],he[N];
void init()
{
    pn=;
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        if(!nop[i])
        {
            he[i]=;//he[i]=2^1,
            pri[pn++]=i;
        }
        for(int j=;j<pn&&1ll*i*pri[j]<N;j++)
        {
            int temp=i*pri[j];
            nop[temp]=true;
            if(i%pri[j]==)
            {
                he[temp]=he[i];//temp的质因子数跟i相同
                break;
            }
            he[temp]=he[i]+he[pri[j]];//f[a*b]=f[a]*fa[b]，
            //这里he保存的是指数，所以是+
        }
    }
}
ll pow(int b,int mod)
{
    ll ans=,a=2ll;
    while(b)
    {
        if(b&)
            ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=;
    }
    return ans%mod;
}
int main()
{
    init();
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int sum=;
        for(int i=;i<=n;i++)
            sum+=he[i];
        printf("%lld\n",pow(sum,m));
    }
    return ;
}

欧拉筛