3625 codevs 士兵站队问题 中位数的妙用

士兵站队问题

题目描述 Description

在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点用整数坐标(x,y)表示。士兵们可以沿网格边往上、下、左、右移动一步，但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一行。编程计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。

输入描述 Input Description

第1行是士兵数n，1≤n≤10000。接下来n行是士兵的初始位置，每行有2个整数x和y，-10000≤x，y≤10000。

输出描述 Output Description

一个数据，即士兵排成一行需要的最少移动步数。

样例输入 Sample Input

5

1 2

2 2

1 3

3 -2

3 3

样例输出 Sample Output

8

数据范围及提示 Data Size & Hint

-10000≤x，y≤10000

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int x[10009],y[10009];
int main()
{
int n,sx=0,sy=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
sort(x,x+n);
sort(y,y+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{x[i]-=i;}
sort(x,x+n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
sx+=abs(x[i]-x[n/2]);
sy+=abs(y[i]-y[n/2]);
}
cout<<sx+sy<<endl;
return 0;
}

思路解析：

士兵站队，要站在同一排，且一个点只有一个士兵。

士兵要先统一y轴，即士兵移动后纵坐标相等，然后移动x轴使其分散开；

一、统一y轴的最优方法

设目标坐标为M，即n个士兵最终需要移动到的Y轴的坐标值为M
n个士兵的Y轴坐标分别为：
Y0，Y1，Y2 …… …… Yn-1
则最优步数S=|Y0-M|+|Y1-M|+|Y2-M|+ …… …… +|Yn-1-M|；

那么m取何数值时，会发现当m为纵坐标排序后的中位数时s最小。接下来给予证明

|a|-|b|≤|a+(或者是相减)b|≤|a+b|≤|a|+|b|（不做证明了）

例如(假设有两个士兵，我们从简单的开始讨论)

则 s=|y0-m|+|y1-m|，可转换为 s=|m-y0|+|y1-m|;

两个绝对值相加，我们可以用开始的公式消去m；

则 |m-y0|+|y1-m| ≥ |y1-y0|;

那么何时 |m-y0|+|y1-m| = |y1-y0|取得最小呢？

可发现 当绝对值号中符号相同时 可取得最小，令其都大于0

则            y0<m<y1;

可想 当m在两个士兵纵坐标之间时 无论怎么移动 两个士兵移动的距离和 都是两个士兵之间的距离

所以S=|Y0-M|+|Y1-M|+|Y2-M|+ …… …… +|Yn-1-M|对于这个公式使前一半绝对值号内交换位置，都令其大于零，消去M，最后会发现M就是士兵排序之后纵坐标的中位数

二、同统一y轴的方法

设，士兵需要移动到的“最终位置”的X轴坐标值为：k，k+1，k+2 …… …… k+（n-1）

则所求最优步数S=|X0-k|+|X1- （k+1） |+|X2-（k+2）|+ …… +|Xn-1-（k+（n-1））|

经过变形S=|X0-k|+|（X1-1）-k|+|（X2-2）-k|+ …… …… +|（Xn-1-（n-1））-k|

k的取值同理是其中位数;

注意：x轴先从小到大排序之后，在依次减0-- n-1,再排序，再找中位数。