【BZOJ】3329: Xorequ
【题意】给定方程x^3x=2x,求<=x和<=2^x的满足方程的正整数个数。
【算法】数位DP,矩阵快速幂
【题解】异或相当于不进位加法。
移项得,x^2x=3x,又因为x+2x=3x,所以x+2x不能产生进位。
又2x=x<<1,所以x+(x<<1)不进位当且仅当x中不存在相邻的1。
问题转化为求<=x的二进制不存在相邻1的正整数个数,state记录前一位为0或1,进行简单的数位DP。(递推的话就表示最高位,然后从下一位对应转移)
第二个问题,设2^x的答案为f[x],最高位为x。若x位为0,则ans=f[x-1]。若x位为1,则x-1位为0,ans=f[x-2]。
所以,f[x]=f[x-1]+f[x-2],用矩阵快速幂求解斐波那契数列。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=,MOD=1e9+;
ll f[maxn][maxn],n,ans[][],A[][],c[][];
int a[maxn];
ll dfs(int pos,int state,int limit){
if(pos==-)return ;
if(!limit&&~f[pos][state])return f[pos][state];
ll sum=dfs(pos-,,limit&&a[pos]==);
if((!limit||a[pos]==)&&state==)sum+=dfs(pos-,,limit);
if(!limit)f[pos][state]=sum;
return sum;
}
void mul(ll A[][],ll B[][]){
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++){
c[i][j]=;
for(int k=;k<;k++)
c[i][j]=(c[i][j]+B[i][k]*A[k][j])%MOD;
}
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
A[i][j]=c[i][j];
}
ll ask(ll x){
ans[][]=ans[][]=;ans[][]=ans[][]=;
A[][]=A[][]=A[][]=;A[][]=;
while(x){
if(x&)mul(ans,A);
mul(A,A);
x>>=;
}
return ans[][];
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
memset(f,-,sizeof(f));
while(T--){
scanf("%lld",&n);
ll num=n;//
int len=;
while(num){
a[len++]=num%;
num/=;
}
printf("%lld\n%lld\n",dfs(len-,,)-,ask(n));
}
return ;
}
注意long long。
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