【BZOJ】3329: Xorequ

【题意】给定方程x^3x=2x，求<=x和<=2^x的满足方程的正整数个数。

【算法】数位DP，矩阵快速幂

【题解】异或相当于不进位加法。

移项得，x^2x=3x，又因为x+2x=3x，所以x+2x不能产生进位。

又2x=x<<1，所以x+(x<<1)不进位当且仅当x中不存在相邻的1。

问题转化为求<=x的二进制不存在相邻1的正整数个数，state记录前一位为0或1，进行简单的数位DP。（递推的话就表示最高位，然后从下一位对应转移）

第二个问题，设2^x的答案为f[x]，最高位为x。若x位为0，则ans=f[x-1]。若x位为1，则x-1位为0，ans=f[x-2]。

所以，f[x]=f[x-1]+f[x-2]，用矩阵快速幂求解斐波那契数列。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=,MOD=1e9+;
ll f[maxn][maxn],n,ans[][],A[][],c[][];
int a[maxn];
ll dfs(int pos,int state,int limit){
    if(pos==-)return ;
    if(!limit&&~f[pos][state])return f[pos][state];
    ll sum=dfs(pos-,,limit&&a[pos]==);
    if((!limit||a[pos]==)&&state==)sum+=dfs(pos-,,limit);
    if(!limit)f[pos][state]=sum;
    return sum;
}
void mul(ll A[][],ll B[][]){
    for(int i=;i<;i++)
        for(int j=;j<;j++){
            c[i][j]=;
            for(int k=;k<;k++)
                c[i][j]=(c[i][j]+B[i][k]*A[k][j])%MOD;
        }
    for(int i=;i<;i++)
        for(int j=;j<;j++)
            A[i][j]=c[i][j];
}
ll ask(ll x){
    ans[][]=ans[][]=;ans[][]=ans[][]=;
    A[][]=A[][]=A[][]=;A[][]=;
    while(x){
        if(x&)mul(ans,A);
        mul(A,A);
        x>>=;
    }
    return ans[][];
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    memset(f,-,sizeof(f));
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        ll num=n;//
        int len=;
        while(num){
            a[len++]=num%;
            num/=;
        }
        printf("%lld\n%lld\n",dfs(len-,,)-,ask(n));
    }
    return ;
}

注意long long。