【百度之星2014~复赛解题报告~正解】The Query on the Tree

声明

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前言

昨天写了　The Query on the Tree　的解题报告，但是遗留下一个问题，不能算是完美解决这道题．

因为如果精心构造数据的话，昨天的题解还是会被卡住的．

今天中午睡觉的时候突然想起一个不会被卡住的方法．

但是由于早上玩了一会类似与宠物消消的弱智游戏，于是怎么也停不下来了．

一个下午的时光也浪费在了这个弱智游戏上．

到了晚上，手机终于没电了，于是来写写这道题的完美解决方法．

这样无论怎么构造数据，tiankonguse都不用担心程序超时了．

正文

题意

　　有一棵树，树的每个点有点权，每次有三种操作：

　　1. Query x 表示查询以x为根的子树的权值和。

　　2. Change x y 表示把x点的权值改为y(0<=y<=100)。

　　3. Root x 表示把x变为根。

　　现在度度熊想请更聪明的你帮助解决这个问题。

背景

这篇记录和昨天那一篇紧密相连，建议看看那个记录．

传送门（http://tiankonguse.com/record/record.php?id=673）

背景简述

对于这道题，首先需要对树按１为根优先编号．

编号的时候记录子树的权值和以及子树的编号范围．

这样设置根的一般复杂度是O(1), 修改的一般复杂度是O( log( n ) ), 查询的一般复杂度也是　O( log( n ) ).

修改的最坏复杂度是O( n ), 我们可以使用线段树来优化到O( log( n ) ).

对于查询分了三部分，其中有一部分最坏情况下复杂度也是　O( n ).

当时往二分优化上想了，但是目前的信息不满足二分的条件，所以二分不了．

二分优化查询

假设目前查询的是x, root 是根，　y 是x的某个儿子，　root 在　y 的那个子树上．

问题１：我们要二分搜索什么？

我们要搜索y这个节点．

问题２：搜索的序列有递增或递减的特增吗？

我们要搜的区间是　left[x]到　left[root], 其中　left[x]　最小，left[y] 不能确定在那个地方，也不知道　left[y] 的值．

问题三：有人说可以使用欧拉序列加树状数组做这道题，是吗？

欧拉序列是什么呢？

原来欧拉序列也对树dfs编号了，只不过进入每个儿子的时候都对当前子树根编号，最后结束时再遍一次号，储存的信息貌似很丰富．

问题四：如果我们也使用欧拉序列或者欧拉序列的思想，可以二分吗？

貌似可以．

因为这时x的每个儿子前面一定有一个编号是x.

而我们需要的是　root 前面的第一个　x.

又由于　x 是区间内最小值，所以通过二分这个最小值就可以搜到　y 了．

问题五：最坏复杂度怎么呀？

由于需要二分，所以最少是　O( log( n ) ).

每次都需要判断，所以这个我们需要通过线段树来优化，可以优化到　log( n ).

这样综合复杂度就是　O( log( n ) ^ 2 )

问题六：那你能实现吗？

这个当然可以，就是一个二分加线段树．

总结

针对昨天遗留下的问题，这里简单的总结一下解决方法．

遗留的问题是查询的时候，如果root是查询节点x的子孙时，我们需要找到x的某个儿子y，这个儿子y还是root的祖先．

这个查找过程用昨天的方法最坏复杂度是O( n ) 的.

这里我找到一个方法：对树dfs编号的时候，每次在儿子前面都添加一个根节点，即把用根节点把各个儿子为根的子树分开．

这样我们就可以使用二分查找x的儿子y了．

因为root前面第一个编号为x的节点和y前面第一个编号为x的节点是相同的．

而且第一个编号为x的节点的下一个节点就是y节点．

由于x还是整个区间的最小值，所以我们就可以通过二分区间最小值来找到root前面的第一个编号为x的节点了．

代码

二分优化查询(其他的暴力的代码)https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.3.cpp

完整版的代码(两个线段树写为一个了)：https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.4.cpp

参考

无