竞赛题解 - Broken Tree(CF-758E)

Broken Tree(CF-758E) - 竞赛题解

贪心复习~（好像暴露了什么算法……）

标签：贪心 / DFS / Codeforces

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『题意』

给出一棵以1为根的树，每条边有两个值：p-强度、w-重量。

对于给出的树，我们可以对每条边进行操作——将它的p、w同时减去相同的值，但是要求 \(p\ge0,w>0\) 。（注意只能减，不能加）

进行操作后，需要使原树满足：如果 u 是 v 的父亲，那么 u 到 v 的边的 p 不能小于 以 v 为根节点的子树中所有边的 w 之和。

求出一种方案，使得在满足条件的情况下，树的 w 之和最大，输出这个方案。如果不存在任何方案，输出-1（Of course 有 SPJ）

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『解析』

简单地思考一下，对于这道题，叶子节点的p以及与根节点相连的边的w是没有用的……

根据这个我们可以想出一个思路——从下到上尽可能减去重量，求到重量最小的树；再从上到下贪心地尽可能给每条边加重量（不超过原重量），得到答案。比较有趣的是正解好像也是这么写的——因为按理来说样例的解很多，但是我的程序跑出来是一样的~

「减重量-DFS」

从根节点DFS到叶子节点，然后从叶子节点递归得到整个树的最小重量解（当然是唯一解）

声明一下变量：

(1) edg[i] 按照输入顺序给出的第i条边（从1开始）；

(2) fedg[i] 对应edg[i]，表示修改后的第i条边；

(3) pnt[i] 表示以i为根的子树的最小总重量（满足条件的）；

(4) (u,v) 表示 u,v 之间的边在输入时的顺序

Tab. edg,fedg 都是结构体，包含元素 wgt,ref 分别表示重量、强度

假设现在是 u点，已经计算出它的儿子 v，边的编号 id=(u,v)。

首先判断重量是否合法——如果子树v的最小重量 pnt[v] 都大于 edg[id].ref 了，那么就不合法，输出-1。

否则，显然如果不考虑 \(edg[id].wgt>0\) ，那么我们可以把 edg[id].ref 降至 pnt[v] —— 那么我们就是要在 \(edg[id].wgt>0\) 的情况下尽可能的使 edg[id].ref 小。计算 \(delta\) 表示将 edg[id] 的 wgt 和 ref 同时减去 delta。那么 \(delta=min\{edg[id].ref-hvy\ ,\ edg[id].wgt-1\}\)，将削减后的值存入 fedg[id] ，最后统计 pnt[u] 。

这样我们就求出了最小重量的方案（同时判断了不存在解的情况）。

「增重量-Solve」

根据最开始的分析，我们可以将与根节点相连的所有边的 wgt 和 ref 都调至最大（也就是初始值）。

在 Solve() 函数中除了 当前节点u 还附带一个变量 \(del\)表示u的子树在最小基础下的能够增加的最大重量。其实Solve()的本质还是一个 DFS……但是它的返回值是 以u为根的子树中在最小重量的基础上新增加的重量之和，所以我们用deltot来记录这个返回值。

那么从根节点出发，我们可以把 del 看做是正无穷，因为没有任何限制。

假设现在正在处理 边(u,v) ，u是父亲。

如果当前边再加上 del 不超过原来的重量，那么就可以将它加上，返回 deltot+=del（这里del就相当于加重量的机会，而这种情况就相当于把所有机会用完了）。

否则在给当前边增加重量后，del还有剩余——那么就贪心地把 del 分配到 v 里去。也就是先给 边(u,v) 加大到可能的最大值，同时将 del 减去增加的值。但是我们不能直接将 del 下传到 v 去，因为可能 v 的子树在增加 del 的重量后，边(u,v) 的强度不够，所以下传时，我们进行一个处理—— \(min(del,fedg[id].ref-pnt[v])\)（这里的pnt[v]其实就是在未对v进行 Solve() 修改时的v的子树总重）。最后在 Solve() 返回时将 del 减去其返回值，表示用去了这么多“机会”。

然后就可以了~

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『源代码』

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=(int)2e5;
struct GRAPH{
	struct NODE{
		int to,nxt,id;
		NODE(){}
		NODE(int _to,int _nxt,int _id):to(_to),nxt(_nxt),id(_id){}
	}nod[N*2+7];
	int adj[N+7],cnt,siz[N+7];
	GRAPH(){memset(adj,-1,sizeof adj);cnt=0;}
	void AddEdge(int u,int v,int id,bool dir){
		siz[u]++;nod[++cnt]=NODE(v,adj[u],id);adj[u]=cnt;
		if(!dir) AddEdge(v,u,id,true);
	}
}grp;
struct EDGE{
	int u,v;
	long long ref,wgt;
}edg[N+7],fedg[N+7];
int n;
long long pnt[N+7];
long long DFS(int u,int pre){
	long long hvytot=0;
	for(int i=grp.adj[u];i!=-1;i=grp.nod[i].nxt){
		int v=grp.nod[i].to,id=grp.nod[i].id;
		if(v==pre) continue;
		long long hvy=DFS(v,u);
		if(hvy>edg[id].ref){
			printf("-1\n");
			exit(0);
		}
		long long delta=min(edg[id].ref-hvy,edg[id].wgt-1);
		fedg[id].ref=edg[id].ref-delta;
		fedg[id].wgt=edg[id].wgt-delta;
		hvytot+=hvy+fedg[id].wgt;
	}
	return pnt[u]=hvytot;
}
long long Solve(int u,int pre,long long del){ //del:u的子树在最小基础下的能够增加的最大重量
	long long deltot=0;
	for(int i=grp.adj[u];i!=-1;i=grp.nod[i].nxt){
		int v=grp.nod[i].to,id=grp.nod[i].id;
		if(v==pre) continue;
		if(fedg[id].wgt+del<=edg[id].wgt){
			fedg[id].wgt+=del;fedg[id].ref+=del;
			deltot+=del;
			del=0;break;
		}
		else{
			deltot+=edg[id].wgt-fedg[id].wgt;
			del-=edg[id].wgt-fedg[id].wgt;
			fedg[id]=edg[id];
		}
		long long delv=Solve(v,u,min(del,fedg[id].ref-pnt[v]));
		del-=delv;deltot+=delv;
	}
	return deltot;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d%d%d",&edg[i].u,&edg[i].v,&edg[i].wgt,&edg[i].ref);
		fedg[i]=edg[i];
		grp.AddEdge(edg[i].u,edg[i].v,i,false);
	}
	DFS(1,0);
	Solve(1,0,(1ll<<60));
	printf("%d\n",n);
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d %d %lld %lld\n",fedg[i].u,fedg[i].v,fedg[i].wgt,fedg[i].ref);
	return 0;
}

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\(\mathcal{The\ End}\)

\(\mathcal{Thanks\ For\ Reading!}\)

- 如果blog里面有没讲清楚的……可以在我的邮箱\(lucky\_glass@foxmail.com\)问我~