题解-The Number of Good Intervals

题面

The Number of Good Intervals

给定 \(n\) 和 \(a_i(1\le i\le n)\)，\(m\) 和 \(b_j(1\le j\le m)\)，求对于每个 \(j\)，\(a_i\) 区间 \(\gcd\) 为 \(b_j\) 的区间数。

数据范围：\(1\le n\le 4\cdot 10^6\)，\(1\le m\le 2\cdot 10^5\)，\(1\le a_i,b_i\le 4\cdot 10^4\)。

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解法

唠叨

蒟蒻考场上 \(\Theta(n{\rm d}(a))\) 的公约数容斥过了……赛后 \(\tt MLE\#13\)。

正解有好多种，都是 \(\Theta(n\log^2n+m)\) 的，其中一个 \(\log\) 来自 \(\gcd\)。蒟蒻说说最妙的一种。

奇妙的正解

\(f_{i,j}\) 表示右端点为 \(i\)，\(\gcd\) 为 \(j\) 的区间数。

\[f_{i,\gcd(a_i,j)}=\sum f_{i-1,j}
\]

当然要考虑区间 \([i,i]\)，\(f_{i,a_i}++\)。

然后 \(i\) 这维滚动掉，\(j\) 这维用哈希表。

时间复杂度 \(\Theta(n\log^2n+m)\)。

• 证明：

只考虑 \(f_{i,j}>0\) 的 \(j\)，如果有 \(cnt\) 种，如果要加 \(1\) 种不减少原来的 \(cnt\) 种，必须是原来 \(cnt\) 种的公倍数。所以任何时候，\(cnt\) 必然是 \(\log\) 级别的。

然后 \(ans_j=\sum_{i=1}^n f_{i,j}\)，可以求 \(f\) 的时候一起求，每次查询 \(\Theta(1)\)。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=4e6,A=4e4;
int n,m; ll ans[A+1];
unordered_map<int,ll> hsh[2];
int gcd(int x,int y){return x?gcd(y%x,x):y;}

//Main
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	int now=1,a;
	while(n--){
		cin>>a,now^=1,hsh[now].clear();
		for(auto it:hsh[now^1]){
			int g=gcd(a,it.x);
			hsh[now][g]+=it.y,ans[g]+=it.y;
		}
		hsh[now][a]++,ans[a]++;
	}
	cin>>m;
	int b;
	while(m--){
		cin>>b;
		cout<<ans[b]<<'\n';
	}
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！