[MIT6.006] 11. Integer Arithmetic, Karatsuba Multiplication 整型算术,Karatsuba乘法
很多人不喜欢√2的表达,他们认为它不是一个数。
一、卡塔兰数 Catalan numbers
在数方面上,有个著名的数叫卡塔兰数 Catalan numbers,它是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。其中它能解决一个叫求括号化方案数量的问题。如图下:
在卡塔兰数下,设P为平衡的父字符串集。
(1)λ属于P集合(λ是空字符串);
(2)如果α,β都属于P,则(α)β 也属于P。
如果现在有个空字符串(C0=1)和一对括号(C1=1),则C2=C0C1 + C1C0。归纳结果则为:Cn+1 = ∑CkCn-k (n≥0)。
关于卡塔兰树的一个有趣集合问题,如下图所示:
二、牛顿法 Newton's Method
牛顿法就是通过不断逼近某函数f(x)来求取f(x)=0的根解。例如下图中f(x) = x2 - a。
使用牛顿法求解过程中,数的实际精度符合二次收敛(Quadratic convergence)的特性,即梯度双倍增长,如下图:
三、高精度乘法
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