数论总结——更新ing

数论还是有很多没学完 只是小小的总结

一、同余定理

1.反身性：\(a\equiv a (mod m)\)

2.对称性：若\(a\equiv b(mod m)\)，则\(b\equiv a (mod m)\)

3.传递性：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(b\equiv c(mod m)\)，则\(a\equiv c(mod m)\)

4.同余式相加：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，则\(ac\equiv bd(mod m)\)

5.同余式相乘：若\(a\equiv b(mod m)\)，\(c\equiv d(mod m)\)，则\(ac\equiv bd(mod m)\)

二、最小公倍数与最大公约数

最大公约数：GCD

辗转相除法：设\(gcd(a,b)\)为\(a\)与\(b\)的最大公约数

\[gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$当$b$为0时，此时的$a$即为二者的最大公约数
```cpp
long long gcd(long long a, long long b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
```
最小公倍数：LCM
记$d=gcd(a,b)$，$a=a'd$，$b=b'd$，可以看出 $lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}$
## 三、整除
给定$a$,$b$两个数，若b能整除a，记作$b\mid a$，反之记作$a\nmid b$
简单定理：
* 若$b\mid a$，且$c\mid b$，则$c\mid a$
* 若$c\mid a$，且$c\mid b$，则$c\mid \left(na+mb\right)$
## 四、素数与合数
对于任意一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因子，则称为素数
素数定理：小于等于x的素数个数 $\approx \frac{x}{\ln x}$ ，可以用来估计素数个数，估算所开数组的大小
不是素数的大于1的自然数称为合数

素数筛法：
### 1、暴力枚举
复杂度：$O(\log{n})$
由于任意一个数$x$的因子可看为两部分，小于$\sqrt{x}$与大于$\sqrt{x}$，因此可以枚举所有$\{i\mid i\le \sqrt{x}\}$，如若出现$i\mid x$，则不是素数，反之是素数。
*一般用于对某单个数的素性判定*
```cpp
bool check(int x)
{
int end = sqrt(x);
for (int i = 2; i <= end; ++i)
{
if (x % i == 0)
return false;
}
return true;
}
```
拓展内容（求单个合数的最大质因数）
对于任何一个数$x$，可以将他进行质因数分解，且同时保证$prime[i]^2\le x_{cur}$进行优化。
首先可以预处理出所有$\{prime\mid prime \le \sqrt{x}\}$，这样$x$的质因数分解一定是在这个集合中，或者只有最大质因数不在这个集合中。如果所剩下的最后一个数为1，即完美的进行了质因数分解，则最大质因数为最后一次除的质数，反之则最后剩下的数即为最大质因数
```cpp
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn/10];

void Euler_Sieve()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prime[j] * i] = true;
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
int Maximum_prime_factor(int x)
{
int ans;
for (int i = 0; i < cnt && prime[i] * prime[i] <= x; ++i)
{
if (x % prime[i] == 0)
{
ans = prime[i];
while (x % prime[i] == 0)
x /= prime[i];
}
}
return x == 1 ? ans : x;
}
```
### 2、埃氏筛法
复杂度：$O(\log{\log{n}})$
由于对于任何合数而言，他们能够被任意$prime$ 整除，所以，可以通过枚举$k*prime(k*prime\le lim_{up})$，来筛选出一些约数，而没有被筛选过的自然就是素数
值得说明的是：当选中某个$prime$时，比$prime$小的质数的倍数已经被筛出了，所以为了减小时间复杂度，可以从$prime^2$开始筛选
```cpp
const int maxn = 10000;
bool vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void Eratosthenes_Sieve()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (vis[i]) continue;
prime[cnt++] = i;
for (int j = i * i; j < maxn; j += i)
vis[j] = true;
}
}
```
拓展内容（求出多个合数的最大质因数）
利用埃氏筛法是由小质数到大质数的筛选过程，每次大质数筛选时会覆盖之前小质数的结果，因此可以得到实现代码
注意：开始条件从$i^2$变为了$2i$
```cpp
#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (vis[i]) continue;
prime[cnt++] = i;
for (int j = 2*i; j < maxn; j += i)
vis[j] = i;
}
}
```
### 3、欧拉筛
复杂度：$O(n)$
通过对每个合数，只用其最小的质因数进行筛选的思想，每次将$cur*prime[i]$对应的数筛出，为了保证最小的质因数筛出，当$prime[i]\mid cur$时，需要break
原因在于设$cur=k*prime[i]$，那么如果继续筛即对于
$$n=cur*prime[i+1]=(prime[i]*k)*prime[i+1]=prime[i]*(k*prime[i+1])$$则可以看出来，这个数$n$本应该在枚举$cur$到比它大的数$k*prime[i+1]$被比$prime[i+1]$更小的$prime[i]$筛出
```cpp
void Euler_Sieve()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (!vis[i]) prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prime[j] * i] = true;
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
```
拓展内容（求出多个合数的最小质因数）
利用欧拉筛每个数都被其最小质因数所筛去
注意：开始条件从$i^2$变为了$2i$
```cpp
#include<cstdio>
const int maxn = 10000;
int vis[maxn];
int cnt, prime[maxn / 10];
void get_Maximum_prime_factors()
{
for (int i = 2; i < maxn; ++i)
{
if (!vis[i]) vis[i] = prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; ++j)
{
vis[prime[j] * i] = prime[j];
if (i % prime[j] == 0)
break;
}
}
}
```
### 4、杜教筛
待学
### 5、min25筛
待学

## 五、欧拉函数\]