BZOJ.5339.[TJOI2018]教科书般的亵渎(拉格朗日插值) & 拉格朗日插值学习笔记

BZOJ

洛谷

题意的一点说明：

\(k\)次方这个\(k\)是固定的，也就是最初需要多少张亵渎，每次不会改变；

因某个怪物死亡引发的亵渎不会计分。

不难发现当前所需的张数是空格数+1，即\(m+1\)。

贡献不妨写成：\(\sum_{i=1}^ni^{m+1}-\sum_{i=1}^mA_i^{m+1}\)。注意此时的\(A_i\)是剩下的空格（具体看代码最底下的暴力部分吧）。

所以问题在于求\(\sum_{i=1}^ni^{m+1}\)。自然数幂和有很多种求法。

这里写插值做法：

\(\sum_{i=1}^ni^{m}\)是一个以\(n\)为自变量的\(m+1\)次多项式，我们代入\(m+2\)个点就可以用拉格朗日插值求出来\(f(n)\)了。

代入点的\(x\)值连续，就可以用前缀积、后缀积和阶乘将拉格朗日插值优化到\(O(n)\)计算单点函数值（具体见下面）。

复杂度\(O(Tm^2)\)。

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写一下这题拉格朗日插值的式子及实现（具体见这里或这里）：

\[f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
\]

当\(x_i\)取\(i\)时：

\[f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{x-j}{i-j}
\]

对于\(x\)，预处理前缀积、后缀积：\(pre_j=\prod_{i=0}^jx-x_i,\;suf_j=\prod_{i=j}^nx-x_i\)。

不难发现上面式子的分子就是前缀积乘后缀积，分母是两个阶乘相乘（注意会有符号问题）。所以就是：

\[f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\frac{pre_{i-1}\times suf_{i+1}}{i!\times(n-i)!}
\]

就可以\(O(n)\)计算\(f(x)\)了。

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判断一个多项式的次数：



主要是根据定理一，当最小到\(k+1\)阶差分为\(0\)时，多项式是\(k\)次多项式。

差分一层等同于降一次，差分出全零时差分次数减一即为多项式次数，带几个k进去找找规律即可...

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//824kb	36ms
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 1000000007
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define Add2(x,y) (x+y>=mod?x+y-mod:x+y)
typedef long long LL;
const int N=55;

int ifac[N],y[N];
LL A[N];

inline int FP(int x,int k)
{
	int t=1;
	for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
		if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
	return t;
}
int F(const int x,const int m)//∑_{i=1}^x i^m 自变量为x的m+1次多项式 在x处的取值
{
	static int pre[N],suf[N];
	const int lim=m+1;
	pre[0]=x, suf[lim+1]=1;//, Mod(suf[lim]);
	for(int i=1; i<=m; ++i) pre[i]=1ll*pre[i-1]*(x+mod-i)%mod;
	for(int i=lim; i; --i) suf[i]=1ll*suf[i+1]*(x+mod-i)%mod;
	LL ans=0;
	for(int i=0,up,down; i<=lim; ++i)
	{
		if(i) up=1ll*pre[i-1]*suf[i+1]%mod*y[i]%mod;
		else up=1ll*suf[i+1]*y[i]%mod;
		down=(lim-i)&1?mod-1ll*ifac[i]*ifac[lim-i]%mod:1ll*ifac[i]*ifac[lim-i]%mod;
		ans+=1ll*up*down%mod;
	}
	return ans%mod;
}

int main()
{
	ifac[N-1]=956708188;
	for(int i=N-1; i; --i) ifac[i-1]=1ll*ifac[i]*i%mod;

	int T;
	for(scanf("%d",&T); T--; )
	{
		LL n; int m; scanf("%lld%d",&n,&m), n%=mod;
		for(int i=1; i<=m; ++i) scanf("%lld",&A[i]);
		std::sort(A+1,A+1+m);
		for(int i=1; i<=m; ++i) A[i]%=mod;//sort后再取模！

		LL ans=0; ++m, y[0]=0;
		for(int i=1; i<=m+1; ++i) y[i]=y[i-1]+FP(i,m), Mod(y[i]);
		for(int t=0; t<m; ++t)
		{
			ans+=F(Add2(n,mod-A[t]),m);// for(int i=1; i<=n; ++i) ans+=FP(i,m);
			for(int i=t; i<m; ++i) ans-=FP(Add2(A[i],mod-A[t]),m);
		}
		printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}
//BruteForce:
//		++m;
//		for(int t=1; t<=m; ++t)
//		{
//			for(int i=1; i<=n; ++i) ans+=FP(i,m);
//			for(int i=t; i<m; ++i) ans-=FP(A[i],m);
//			for(int i=t+1; i<m; ++i) A[i]-=A[t];
//			n-=A[t];
//		}