LibreOJ #2006. 「SCOI2015」小凸玩矩阵

一个数对应一行和一列，二分答案，凡是小于等于答案的就连边。如果满足能够取出 \(n - k + 1\) 个不比二分中点 \(mid\) 大的数，那么r = mid，不然l = mid + 1。

为什么是要求 \(n - k + 1\) 个不大于答案的数，而不是 \(k\) 个不小于答案的数呢？因为后者无法保证能够取出 \(n\) 个数。比方说：

样例
3 4 2
1 5 6 6
8 3 4 3
6 8 6 3

\(1\) 满足能够取出 \(k\) 个不小于它的数，但如果把它作为第 \(k\) 大的数，就无法找到 \(n - k\) 个比它小的数一并取出。

换言之，如果能够取出 \(n - k - 1\) 个不大于它的数，就一定能够在它取最小值时再取出 \(k\) 个大于等于它的数；如果能够取出 \(k\) 个大于等于它的数，却不一定能够在它取最小值时再取出 \(n - k - 1\) 个小于等于它的数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

inline int min(const int& a, const int& b){
	return a < b ? a : b;
}

inline int max(const int& a, const int& b){
	return a > b ? a : b;
}

const int MAXN = 5e2 + 19, MAXM = 2.5e5 + 19;

struct Edge{
	int to, next, c;
}edge[MAXM << 1];

int cnt = -1, head[MAXN];

inline void add(int from, int to, int c){
	edge[++cnt].to = to;
	edge[cnt].c = c;
	edge[cnt].next = head[from];
	head[from] = cnt;
}

int n, m, k;
int a[MAXN][MAXN];

int dep[MAXN];

int bfs(void){
	std::queue<int>q; q.push(0);
	std::memset(dep, 0, sizeof dep); dep[0] = 1;
	while(!q.empty()){
		int node = q.front(); q.pop();
		for(int i = head[node]; i != -1; i = edge[i].next)
			if(!dep[edge[i].to] && edge[i].c)
				dep[edge[i].to] = dep[node] + 1, q.push(edge[i].to);
	}
	return dep[n + m + 1];
}

int dfs(int node, int flow){
	if(node == n + m + 1 || !flow)
		return flow;
	int stream = 0, f;
	for(int i = head[node]; i != -1; i = edge[i].next)
		if(dep[edge[i].to] == dep[node] + 1 && (f = dfs(edge[i].to, min(flow, edge[i].c)))){
			flow -= f, stream += f;
			edge[i].c -= f, edge[i ^ 1].c += f;
			if(!flow)
				break;
		}
	return stream;
}

int dinic(void){
	int flow = 0;
	while(bfs())
		flow += dfs(0, 0x3f3f3f3f);
	return flow;
}

int main(){
	int l = 0x3f3f3f3f, r = 0;
	std::scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= m; ++j){
			std::scanf("%d", &a[i][j]);
			l = min(l, a[i][j]), r = max(r, a[i][j]);
		}
	while(l < r){
		int mid = (l + r) >> 1;
		std::memset(head, -1, sizeof head), cnt = -1;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			for(int j = 1; j <= m; ++j)
				if(a[i][j] <= mid)
					add(i, j + n, 1), add(j + n, i, 0);
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			add(0, i, 1), add(i, 0, 0);
		for(int j = 1; j <= m; ++j)
			add(j + n, n + m + 1, 1), add(n + m + 1, j + n, 0);
		if(dinic() >= n - k + 1)
			r = mid;
		else
			l = mid + 1;
	}
	std::printf("%d\n", l);
	return 0;
}