学习总结：斯特林数（ Stirling number ）

基本定义

第一类斯特林数：$1 \dots n$的排列中恰好有$k$个环的个数；或是，$n$元置换可分解为$k$个独立的轮换的个数。记作

$$ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}. $$

第二类斯特林数：将$n$个元素分成$k$个非空集合的方案数。记作

$$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}. $$

根据定义，我们有

$$ \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = n!, $$

$$ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = B_n, $$

其中$B_n$是 Bell 数。

递推关系

第一类斯特林数：考虑$\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$。枚举第$n$个元素，其若自成一个环，则有$\begin{bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{bmatrix}$种方案；若其放在已有的某个环中，则有$n-1$个位置可放，于是有$(n-1)\begin{bmatrix} n-1 \\ k \end{bmatrix}$种方案。因此，

$$ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = (n-1)\begin{bmatrix} n-1 \\ k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{bmatrix}. $$

第二类斯特林数：考虑$\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}$。枚举第$n$个元素，若其自成一份，则有$\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}$种方案；若其放在已有的某份，则有$k$份可选择，于是有$k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}$种方案。因此，

$$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}. $$

以上递推式，可在$O(nk)$的复杂度内求出斯特林数。

斯特林数与阶乘幂

我们定义下降幂（Falling Factorial）：

$$ x^{\underline{n}} = x(x-1)\cdots (x-n+1). $$

以及上升幂（Rising Factorial）：

$$ x^{\overline{n}} = x(x+1)\cdots (x+n-1). $$

则有以下等式：

$$
\begin{aligned}
x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k  & \Longleftrightarrow x^n = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline{k}} \\
x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k  & \Longleftrightarrow x^n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\overline{k}} \\
x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^n L(n, k) x^{\underline{k}}  & \Longleftrightarrow x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} L(n, k) x^{\overline{k}} 
\end{aligned}
$$

其中

$$ L(n, k) = \sum_j \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} j \\ k \end{Bmatrix} = \binom{n-1}{k-1} \frac {n!} {k!}. $$

注：最常用的是将$x^n$分成若干个$x^{\underline{k}}$之和，或者是$\binom{x}{k}$之和，即

$$ x^n = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline{k}} = \sum_{k=0}^n k! \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \binom{x}{k}. $$

斯特林反演

斯特林数和阶乘幂的关系可推广至一般函数：

$$
\begin{aligned}
g(n) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} f(k)  & \Longleftrightarrow f(n) = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} g(k) \\
g(n) = \sum_{k=0}^n L(n, k) f(k) & \Longleftrightarrow f(n) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} L(n, k) g(k) 
\end{aligned}
$$

斯特林数的快速求解

第一类斯特林数

为快速计算$\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$，我们利用

$$ x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k. $$

令$f(x) = x^{\overline{n}}, g(x) = (x+n)^{\overline{n}}$，则$f(x)g(x) = x^{\overline{2n}}$。注意到$f(x)$中$x^k$的系数对应了$\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}$。若求得了$g(x)$，计算$f(x)$与$g(x)$的多项式乘积即可得到$\begin{bmatrix} 2n \\ \cdot \end{bmatrix}$。而求$g(x)$的方法如下：

设

$$ f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k, $$

则

$$
\begin{aligned}
g(x)
& = \sum_{k=0}^n a_k (x+n)^k \\
& = \sum_{k=0}^n a_k \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} n^{k-i} x^i \\
& = \sum_{k=0}^n \frac{1} {(n-k)!} x^{n-k} \sum_{i+j=k} \frac{n^i}{i!} a_{n-j} (n-j)!
\end{aligned}
$$

就变成了卷积计算。用快速傅里叶变换则计算$g(x)$的时间复杂度为$O(n \log n)$。

总的时间复杂度为

$$ T(n) = T(n/2)+O(n\log n), $$

解为$T(n) = O(n \log n)$。

第二类斯特林数

我们仍可用第一类斯特林数的做法并利用

$$ x^n = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline{k}}. $$

但我们有一个更好的选择：

$$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = \frac 1 {k!} \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom{k}{i} i^n = \sum_{i+j=k} \frac{i^n}{i!} \frac{(-1)^j}{j!}. $$

就变成了卷积计算，用快速傅里叶变换则时间复杂度为$O(n \log n)$。

一些例题

CodeForces 932E. Team Work

HDU 4625. JZPTREE

CodeForces 1097G. Vladislav and a Great Legend

CodeForces 960G. Bandit Blues