【bzoj1040】[ZJOI2008]骑士 并查集+基环树dp

题目描述

Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

输入

第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

输出

应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

样例输入

3
10 2
20 3
30 1

样例输出

30

---

题解

基环树dp

首先分析出本题的痛恨关系是无向的，然后这道题就变成了一道类似的题，只不过那道题是n个点n-1条边的树，本题是n个点n条边，我们称之为“基环树”。

之所以叫做基环树，是因为所有连通块都是n个点n条边的形式，是树上多连了一条边，形成了一个环。

处理基环树问题，一般都是讨论环的断开。

在本题中，若存在边x<->y使得它们连成了一个环，那么肯定x和y不能同时选。那么只有两种情况：x不选，y选不选都行；或y选，x选不选都行。

那么如果x不选，则以x为根做树形dp，取x不选的状态；y不选同理。

判环什么的使用并查集搞一搞，树形dp的方法参见 这里 。

最后需要注意的是本题的图不一定连通，所以对于每个连通块都需要做相同的处理。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1000010
#define inf 0x8000000000000000ll
using namespace std;
int v[N] , head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , bl[N] , sa[N] , sb[N] , tot;
long long f[N] , g[N];
int find(int x)
{
	return x == bl[x] ? x : bl[x] = find(bl[x]);
}
void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs(int x , int fa)
{
	int i;
	f[x] += v[x];
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa)
			dfs(to[i] , x) , f[x] += g[to[i]] , g[x] += max(f[to[i]] , g[to[i]]) , f[to[i]] = g[to[i]] = 0;
}
int main()
{
	int n , i , x , a , b;
	long long ans = 0 , maxn;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) bl[i] = i;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%d%d" , &v[i] , &x);
		if(find(x) != find(i)) bl[bl[i]] = bl[x] , add(i , x) , add(x , i);
		else sa[++tot] = i , sb[tot] = x;
	}
	for(i = 1 ; i <= tot ; i ++ )
	{
		f[sa[i]] = inf , dfs(sb[i] , 0) , maxn = max(f[sb[i]] , g[sb[i]]) , f[sb[i]] = g[sb[i]] = 0;
		f[sb[i]] = inf , dfs(sa[i] , 0) , maxn = max(maxn , max(f[sa[i]] , g[sa[i]])) , f[sa[i]] = g[sa[i]] = 0;
		ans += maxn;
	}
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}