【整理】XOR:从陌生到头晕
一:解决XOR常用的方法:
在vjudge上面输入关键词xor,然后按照顺序刷了一些题。
然后大概悟出了一些的的套路:
- 常用的有贪心,主要是利用二进制的一些性质,即贪心最大值的尽量高位取1。
- 然后有前缀异或和,和普通前缀和一样,可以快速得到一段区间的异或和。
- 当然在一颗树里面也常用前缀异或和,得到根节点到每个节点的前缀异或和,然后,两个点的前缀异或和在异或,可以得到两个点之间路线的异或和。 因为LCA到根的公共部分可以抵消(感谢Lzh提醒)。
- Trie树,可以快速在数组里找自己的最大异或。
- 这种题,当然少不了分块,随机应变吧。
-------------------------------我是分界线-----------------------------------
POJ 3764:The xor-longest 字典树求最大异或
题意:给出一棵树,在树上找出一条路径,使得路径伤的边的异或值最大。
思路:dfs得到根到节点的异或前缀和,然后把每个点的异或前缀和插入字典树中,就可以按套路,在字典树里找最大异或了。
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=;
const int maxn=;
int Laxt[maxm],Next[maxm],To[maxm],val[maxm],cnt,Xor[maxm];//dfs
int ch[maxn][],tot,ans,b[],n;//trie
int q_pow(int a,int x){ int res=;while(x){if(x&) res*=a;x>>=;a*=a;} return res;}
int read()
{
int res=; char c=getchar();
for(;c>''||c<'';c=getchar());
for(;c<=''&&c>='';res=res*+c-'',c=getchar()) ;
return res;
}
void init()
{
memset(Laxt,,sizeof(Laxt));
memset(Xor,,sizeof(Xor));
memset(ch,,sizeof(ch));
cnt=tot=ans=;
}
void add(int u,int v,int x)
{
Next[++cnt]=Laxt[u];
Laxt[u]=cnt;
To[cnt]=v;
val[cnt]=x;
}
void dfs(int u,int pre,int x)
{
for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
if(To[i]!=pre){
Xor[To[i]]=x^val[i];
dfs(To[i],u,Xor[To[i]]);
}
}
}
void insert(int x)
{
int Now=;
for(int i=;i<=;i++) { b[i]=x&;x>>=;}
for(int i=;i>=;i--){
if(!ch[Now][b[i]]) ch[Now][b[i]]=++tot;
Now=ch[Now][b[i]];
}
}
void find(int x)
{
int Now=,tmp=;
for(int i=;i<=;i++){ b[i]=x&; x>>=; }
for(int i=;i>=;i--){
if(ch[Now][b[i]^]) Now=ch[Now][b[i]^],tmp+=q_pow(,i);
else Now=ch[Now][b[i]];
} ans=max(ans,tmp);
}
void build()
{
for(int i=;i<=n;i++) insert(Xor[i]);
for(int i=;i<=n;i++) find(Xor[i]);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n)){
init(); int u,v,x;
for(int i=;i<n;i++){
u=read();v=read();x=read();
u++;v++;
add(u,v,x); add(v,u,x);
}
dfs(,,); build();
printf("%d\n",ans);
} return ;
}
SPOJ maxxor:Find the max XOR value 贪心 (下面是错误的)
题意: 给定L,R。求L<=X1,X2,X3...<=R,使得X1^X2^X3...最大异或。
思路: 可以选的数大于大于两个,先求最大的n,使得2^n<=R, 如果还可以异或一个,那么异或(^n)-1就好了。(^n)xor(^n-) =^(n+)-。
一定是最大的。比如2^=, n=, xor = ;不可能还有不这个大的了,毕竟n=4是上界; 当然只能选一个的时候,
就选本身R就好了。当然,为了避免卡精度问题(比如CF就hack我了,mmp),pow函数最好比较一下,这里太懒,算了。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,ans,L,R;
while(~scanf("%d%d",&L,&R)){
if(L==R) printf("%d\n",L);
else {
int a=log2(R);
a=q_pow(,a);
printf("%d\n",a+a-);
}
} return ;
}
HDU 4825:Xor Sum 字典树
题意: 给出n个数a[],然后给出m次问题,给出Y,求a[]里面的X,使得X xor Y最大。
思路: 如果找一个数的最大异或,当然我们需要从高位到低位(已转化为二进制),尽可能不同。
那么我们从高位到低位表示一个数X,并且存入字典树中,结尾节点记录X(不同的数结尾肯定不同)。
对于询问,从高位到地位先尽可能从兄弟边走。
这棵Trie树高度为32,复杂度在接受范围内。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=;
inline int read()
{
int res=;char x=getchar();while(x<''||x>'') x=getchar();
while(x>=''&&x<=''){ res=res*+x-'';x=getchar();}return res;
}
int q_pow(int a,int x){ int res=;while(x){ if(x&) res*=a; x>>=; a=a*a;} return res; }
struct TREE
{
int ch[maxn][],cnt,num[maxn];
void init() { memset(ch,,sizeof(ch));cnt=;}
void insert(int s[],int val)
{
int Now=;
for(int i=;i>=;i--){
if(!ch[Now][s[i]]) ch[Now][s[i]]=++cnt;
Now=ch[Now][s[i]];
} num[Now]=val;
}
int query(int s[])
{
int Now=;
for(int i=;i>=;i--){
if(ch[Now][s[i]^]) Now=ch[Now][s[i]^];
else Now=ch[Now][s[i]];
} return num[Now];
}
}Tree;
int main()
{
int T,n,m,x,tx,a[],Case=;
scanf("%d",&T);
while(T--){
printf("Case #%d:\n",++Case);
scanf("%d%d",&n,&m);
Tree.init();
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);tx=x;
for(int j=;j<=;j++) {
a[j]=x%; x>>=;
} Tree.insert(a,tx);
}
for(int i=;i<=m;i++) {
scanf("%d",&x);
for(int j=;j<=;j++) {
a[j]=x%; x>>=;
} printf("%d\n",Tree.query(a));
}
}return ;
}
NBUT 1597:Find MaxXorSum 字典树
(和上一题差不多,就不说了)
CodeForces 617E:XOR and Favorite Number 分块 (前缀异或和)
题意: 给定数列a[],和m个询问 Q(L,R),回答每个询问中有多少对(L<=i<=j<=R) ,使得异或为k。
思路: 异或转化为前缀和处理。然后就差不多交给分块处理了。 分块的时候记录个数,记录区间信息,具体的代码里面去感受。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=;
int a[maxn],pre[maxn],num[<<],n,m,k,sqrtn;
struct Query{
int id,l,r; ll ans;
}q[maxn];
bool cmp(const Query a,const Query b)
{
if(a.l/sqrtn==b.l/sqrtn) return a.r<b.r;
return a.l<b.l;
}
bool cmp2(const Query a,const Query b)
{
return a.id<b.id;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
sqrtn=(int)sqrt(n);
for(int i=;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
pre[i]=pre[i-]^a[i];
}
for(int i=;i<m;i++){
scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
q[i].id=i;
}
sort(q,q+m,cmp);
int l=,r=;
num[pre[]]++;num[]++;
ll cur=(a[]==k?:);
for(int i=;i<m;i++)
{
while(r<q[i].r){
cur+=num[pre[r+]^k];
r++;
num[pre[r]]++;
}
while(l<q[i].l){
num[pre[l-]]--;
cur-=num[pre[l-]^k];
l++;
}
while(l>q[i].l){
cur+=num[pre[l-]^k];
num[pre[l-]]++;
l--;
}
while(r>q[i].r){
num[pre[r]]--;
cur-=num[pre[r]^k];
r--;
}
q[i].ans=cur;
}
sort(q,q+m,cmp2);
for(int i=;i<m;i++) printf("%lld\n",q[i].ans);
return ;
}
HDU 5661:Claris and XOR 贪心
题意:现在对对于这个题,求a<=X<=b,c<=Y<=d,使XxorY最大(不同位数最多)。
思路:从高位向地位,能取不同则取不同。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long a,b,c,d,x,y,t1,t2,ans;
int main()
{
long long i,j,T;
scanf("%lld",&T);
while(T--){
ans=x=y=;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
for(i=;i>=;i--){
t1=x+(1LL<<i);t2=y+(1LL<<i);
if(t1<=b&&t2->=c) {
x=t1;ans+=(1LL<<i);
}
else if(t2<=d&&t1->=a){
y=t2;ans+=(1LL<<i);
}
else if(t1->=a&&t2->=c){
continue;
}
else if(t1<=b&&t2<=d){
x=t1;y=t2;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
ZOJ 3432: Find the Lost Sock 异或的效果
问题: 有2*n-1个袜子,叫你找出不能配对的那个袜子。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<memory.h>
using namespace std;
char s[],c;
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d\n",&n)){
for(int i=;i<=;i++) s[i]='\0';
for(int i=;i<*n;i++){
for(int j=;j<;j++){
c=getchar();
s[j]=s[j]^c;
}
}
printf("%s",s);
}
return ;
}
NBUT1615:XorXor 异或的性质
问题:求所有区间异或和的异或和。
思路:由于异或满足交换律,偶数次异或的数字可以怼掉。所以只需要求出每个数字是出现奇数次还是偶数次即可。
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int T,n,i,x,ans;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n); ans=;
for(i=;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
if((i*(n+-i))&) ans^=x;
} printf("%d\n",ans);
} return ;
}
CodrChef:Bear and Xor of Sums
题意:问所有的区间和的异或和。
思路:和上一题不同,这里有加法。
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