Luogu P4231 三步必杀 (差分)

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题目背景

（三）旧都

离开狭窄的洞穴，眼前豁然开朗。

天空飘着不寻常的雪花。

一反之前的幽闭，现在面对的，是繁华的街市，可以听见酒碗碰撞的声音。

这是由被人们厌恶的鬼族和其他妖怪们组成的小社会，一片其乐融融的景象。

诶，不远处突然出现了一些密密麻麻的小点，好像大颗粒扬尘一样。

离得近了点，终于看清楚了。

长着角的鬼们聚在一起，围观着另一只鬼的表演。

那”扬尘”，其实都是弹幕。

勇仪的招数之一，三步之内，所到之处弹幕云集，几乎没有生存可能。

为了强化这一技能，勇仪将对着一排柱子进行攻击。

旧地狱的柱子虽然无比坚固，但保险起见还是先要了解一下这样一套攻击对柱子有多少损伤，顺带也能检验练习的效果。

勇仪决定和其它鬼们商量商量...

“我知道妖怪之山的河童一族有一种叫做计算机的神奇道具，说不定可以借来用用”，萃香说道。

于是旧地狱的鬼族就决定请河城荷取来帮忙了。

“要记录【所有柱子的损伤程度】吗”，荷取问道。

经过进一步的询问，荷取发现他们仅仅需要【所有攻击都完成后】柱子的损伤程度。

任务了解地差不多了，荷取将其中的重要部分提取了出来，记录在了她的工作笔记本上：

(记录的内容见题目描述)

那么实验就这样开始了。

在惊天动地的碰撞声中，勇仪每完成一轮攻击，荷取都忠实地记录下对每根柱子产生的伤害。而此时勇仪就在旁边等待着记录完成，然后再进行下一轮的攻击。

地面上，天色渐晚。

“不想在这里留到深夜啊，不然就回不了家了”，荷取这样想着，手中依然在重复地向计算机中输入新产生的信息。

“真的必须一次一次地记录下每轮攻击对每个柱子产生的伤害吗？有没有更高效的方法？”这一念头在荷取的心中闪过...

（后续剧情在题解中，接下来请看T3）

题目描述

问题摘要

\(N\)个柱子排成一排，一开始每个柱子损伤度为0。

接下来勇仪会进行\(M\)次攻击，每次攻击可以用4个参数\(l\),\(r\),\(s\),\(e\)来描述：

表示这次攻击作用范围为第\(l\)个到第\(r\)个之间所有的柱子(包含\(l\),\(r\))，对第一个柱子的伤害为\(s\)，对最后一个柱子的伤害为\(e\)。

攻击产生的伤害值是一个等差数列。若\(l=1\),\(r=5\),\(s=2\),\(e=10\),则对第1~5个柱子分别产生2,4,6,8,10的伤害。

鬼族们需要的是所有攻击完成之后每个柱子的损伤度。

输入输出格式

输入格式：

第一行2个整数NN,MM，用空格隔开，下同。

接下来MM行，每行4个整数ll,rr,ss,ee，含义见题目描述。

数据保证对每个柱子产生的每次伤害值都是整数。

输出格式：

由于输出数据可能过大无法全部输出，为了确保你真的能维护所有柱子的损伤度，只要输出它们的异或和与最大值即可。

（异或和就是所有数字按位异或起来的值）

（异或运算符在c++里为^）

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 2

1 5 2 10

2 4 1 1

输出样例#1： 复制

3 10

输入样例#2： 复制

6 2

1 5 2 10

2 4 1 1

输出样例#2： 复制

3 10

说明

样例解释：

样例1

第一次攻击产生的伤害:2 4 6 8 10

第二次攻击产生的伤害:0 1 1 1 0

所有攻击结束后每个柱子的损伤程度:2 5 7 9 10。

输出异或和与最大值，就是3 10。

样例2：

没有打到第六根柱子，答案不变

数据范围：

本题满分为100分，下面是4个子任务。(x/y)表示(得分/测试点数量)

妖精级(18/3):\(1\leqslant n1,m\leqslant1000\)。这种工作即使像妖精一样玩玩闹闹也能完成吧？

河童级(10/1):\(s=e\),这可以代替我工作吗？

天狗级(20/4):$1\leqslant n\leqslant10^51\leqslant m \leqslant 10^5 $

鬼神级(52/2):没有特殊限制。要真正开始思考了。

以上四部分数据不相交。

对于全部的数据:\(1\leqslant n\leqslant10^7\)

\(1\leqslant m\leqslant3\times 10^5\)

\(1\leqslant l<r\leqslant n\)

所有输入输出数据以及柱子受损伤程度始终在\([0,9\times 10^{18}]\)

提示：

由于种种原因，时间限制可能会比较紧，C++选手请不要使用cin读入数据。

by orangebird

题解

真神的一道题.从八点肝到九点半,就差一个推一个小式子....无语

分析:

第一部分数据:暴力即可.

CODE

void work1() {
    ll l,r,s,e;
    for(ll i = 1;i <= m;++ i) {
        l = read();r = read();s = read();e = read();
        ll len = (e - s) / (r - l);//计算公差
        ll tmp = s;
        for(ll j = l;j <= r;++ j) {
            a[j] += tmp;
            tmp += len;
        }
    }
    ll maxx = 0,sum = 0;
    for(ll i = 1;i <= n;++ i) {
        sum = sum xor a[i];
        maxx = max(maxx,a[i]);
    }
    std::cout << sum << ' '<< maxx;
}

第二部分数据:差分

CODE

void work2() {
    ll l,r,s,e;
    for(ll i = 1;i <= m;++ i) {
        l = read();r = read();s = read();e = read();
        cha[l] += s;cha[r + 1] -= s;
    }
    ll last = 0 , sum = 0 , maxx = 0;
    for(ll i = 1;i <= n;++ i) {
        last = last + cha[i];
        sum = sum xor last;
        maxx = max(maxx, last);
    }
    std::cout << sum << ' '<< maxx;
}

第三部分数据.

不会做.......但是一看可用\(O(n * logn)\)的时间复杂度搞过去.

大概是用数据结构维护.

第四部分数据: 数据非常大.而且这个时间复杂的下界是\(O(n)\)的,那么我们如何才能不超时呢.

根据题目,区间加的.能想到的大概就是差分.

首先看一下公差式子:

设公差为\(d\),

如果对\([l,r]\)区间进行操作的话.(这里假设区间大小为6)

那么对于这个区间的增益就是

\(a[l] + s ,a[l + 1] + s + d,a[l + 2] + s + d + d,a[l + 3] + s + d + d + d.......a[l + 4] + e\)

考虑一下用差分怎么差分.

先把a数组去掉

简洁一些.

\(s,s+d,s+d+d,s+d+d+d,s+d+d+d+d,e\)

用差分的形式表现出来.

\(s,d,d,d,d,d,-e\)

显然如果暴力的去加的话,十分耗时间.

那么

中间的

\(d,d,d,d,d\)

实际上就是对\([l+1,r]\)区间加了一个数d

显然这一部分也是可以利用差分处理的.

所以.....这道题做完了..

CODE

void work3() {
	int l,r,s,e;
	for(int i = 1;i <= m;++ i) {
		l = read_int();r = read_int();s = read_int();e = read_int();
		ll d = Equa(l,r,s,e);
		cha1[l + 1] += d;
		cha1[r + 1] -= d;
		cha2[l] += s;
		cha2[r + 1] -= e;
	}
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
		sum1[i] = sum1[i - 1] + cha1[i];//第一次差分
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
		cha2[i] = cha2[i] + cha2[i - 1] + sum1[i];//第二次差分
	ll ans = 0 ;
	ll maxx = 0 ;
	for(int i = 1;i <= n;++ i) {
		ans = ans xor cha2[i];
		maxx = max(maxx,cha2[i]);
	}
	std::cout << ans << ' '<< maxx;
}

所以这道题一句话题解就是:

差分两次后得到答案.