Xor Sum

6498: Xor Sum

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题目描述

You are given a positive integer N. Find the number of the pairs of integers u and v (0≤u,v≤N) such that there exist two non-negative integers a and b satisfying a xor b=u and a+b=v. Here, xor denotes the bitwise exclusive OR. Since it can be extremely large, compute the answer modulo 109+7.

Constraints
1≤N≤1018

输入

The input is given from Standard Input in the following format:
N

输出

Print the number of the possible pairs of integers u and v, modulo 109+7.

样例输入

3

样例输出

5

提示

The five possible pairs of u and v are:
u=0,v=0 (Let a=0,b=0, then 0 xor 0=0, 0+0=0.)
u=0,v=2 (Let a=1,b=1, then 1 xor 1=0, 1+1=2.）
u=1,v=1 (Let a=1,b=0, then 1 xor 0=1, 1+0=1.）
u=2,v=2 (Let a=2,b=0, then 2 xor 0=2, 2+0=2.）
u=3,v=3 (Let a=3,b=0, then 3 xor 0=3, 3+0=3.）

按位考虑，因为a xor b = <=a+b，实际上只需要考虑a+b<=n，
但是要求a的每一位不大于b的每一位（关键点，否则u,v会有重复），那么对于两组不同的(a1,b1)和(a2,b2)，
如果a1 xor b1等于a2 xor b2，则异或值均为零，
这表明每种(a,b)的取法都会导致不同的(a xor b,a+b)。

 

解法：记dp[i]为满足a+b<=i的(a,b)对的个数，枚举a和b的最低位，记a=2a1+a2，b=2b1+b2，其中a2,b2=0,1且a2<=b2，
那么有a1+b1<=(n-a2-b2)/2，因为a2+b2只能是0,1,2，则有dp[i]=dp[i/2]+dp[(i-1)/2]+dp[(i-2)/2]，
那么对于dp[n]，可以分析出需要计算的状态数是O((logn)^2)的。

此处对map的用法要熟悉，否则在时间和空间上都会爆！

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
map<long long ,long long>dp;
long long solve(long long x)
{
if(dp[x])
{
return dp[x];
}
else
{
return dp[x]=((solve(x/2)+solve((x-1)/2)+solve((x-2)/2)))%mod;
}
}
int main()
{
dp[0]=1;
dp[1]=2;
long long n;
cin>>n;
cout<<solve(n)<<endl;
return 0;
}