CF873E - Awards For Contestants

题意：对于 \(n\) 个人，每个人有一个分数，现在要把所有人分成四等，使得：

• 前三类都有人

• 前三类中，任意类的人数不大于其他类的人数的两倍

• 不能有 \(i\) 的分数比 \(j\) 高但是所属的等级不如 \(j\)

• 定义 \(d_i\) 是第 \(i\) 类的最低分和第 \(i+1\) 类的最高分的差，求最优的方案，按照 \(d_1\rightarrow d_2\rightarrow d_3\) 为第一、第二、第三关键字排序

首先转化题意，我们考虑枚举一等和二等的人数 \(i\) 和 \(j\)，枚举的同时加入两倍的限制，得到当前的 \(d_1\) 和 \(d_2\)。

然后我们考虑找到一种方式，得到“剩余 \(k\) 个人，要求三等奖的人数不小于 \(\dfrac{i}{2}\) 和 \(\dfrac{j}{2}\)，不大于 \(2i\) 和 \(2j\) 的最优的三等奖人数”。也就是 \(O(1)\) 找到一个最优的决策点使得当前点和前一个点的差最大，且当前点的下标在一个确定的范围 \([l,r]\) 内。

首先，这是一个 \(\text{rmq}\) 问题，考虑 \(\text{st}\) 表，把所有的 \({a(i)-a(i-1),i}\) 加入 \(\text{st}\) 表中，然后 \(O(n\log n)\sim O(1)\) \(\text{rmq}\)求出 \([l,r]\) 范围内使 \(a_i-a_{i-1}\) 最小的 \(i\)，从而进行转移。这是比较暴力的做法。 \(\text{Best Code}\) \(\text{by irkstepanov}\)

但是我们可以有更优秀的做法。我们发现 \([l,r]\) 的上下界是单调的，也就是随着 \(j\) 的增长，下界和上界都在单调的增长。这就提示我们使用单调队列优化。

我们可以把所有在界中的决策点丢进单调队列，每次随着j的增长，单调队列头部 \(\text{pop}\) 尾部 \(\text{push}\)，也可以 \(O(1)\) 的找到最优的决策点。\(\text{Best Code}\) \(\text{by LHiC}\)