DIJ算法的堆优化

DIJ算法的时间复杂度是\(O(n^2)\)的,在一些题目中,这个复杂度显然不满足要求。所以我们需要继续探讨DIJ算法的优化方式。

堆优化的原理

堆优化,顾名思义,就是用堆进行优化。我们通过学习朴素DIJ算法,明白DIJ算法的实现需要从头到尾扫一遍点找出最小的点然后进行松弛。这个扫描操作就是坑害朴素DIJ算法时间复杂度的罪魁祸首。所以我们使用小根堆,用优先队列来维护这个“最小的点”。从而大大减少DIJ算法的时间复杂度。

堆优化的代码实现

说起来容易,做起来难。

我们明白了上述的大体思路之后,就可以动手写这个代码,但是我们发现这个代码有很多细节问题没有处理。

首先,我们需要往优先队列中push最短路长度,但是它一旦入队,就会被优先队列自动维护离开原来的位置,换言之,我们无法再把它与它原来的点对应上,也就是说没有办法形成点的编号到点权的映射。

我们用pair解决这个问题。

pair是C++自带的二元组。我们可以把它理解成一个有两个元素的结构体。更刺激的是,这个二元组有自带的排序方式:以第一关键字为关键字,再以第二关键字为关键字进行排序。所以,我们用二元组的first位存距离,second位存编号即可。

然后我们发现裸的优先队列其实是大根堆,我们如何让它变成小根堆呢?

有两种方法,第一种是把第一关键字取相反数,取出来的时候再取相反数。第二种是重新定义优先队列:

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;

解决了这些问题,我们愉快地继续往下写,后来我们发现,写到松弛的时候,我们很显然要把松弛后的新值也压入优先队列中去,这样的话,我们又发现一个问题:优先队列中已经存在一个同样编号的二元组(即第二关键字相同),我们没有办法删去它,也没有办法更新它。那么在我们的队列和程序运行的时候,一定会出现bug。

怎么办呢??

我们在进入循环的时候就开始判断:如果有和堆顶重复的二元组,就直接pop掉,成功维护了优先队列元素的不重复。

所以我们得到了堆优化的代码:

priority_queue<pair<int,int> >q;
void dijkstra(int start)
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
memset(v,0,sizeof(v));
dist[start]=0;
q.push(make_pair(0,start));
while(!q.empty())
{
while(!q.empty() && (-q.top().first)>dist[q.top().second])
q.pop();
if(!q.empty())
return;
int x=q.top().second;
q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(dist[y]>dist[x]+val[i])
{
dist[y]=dist[x]+val[i];
q.push(make_pair(-dist[y],y));
}
}
}
}

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