后缀数组 DC3构造法 —— 详解

　　学习了后缀数组，顺便把DC3算法也看了一下，传说中可以O(n)复杂度求出文本串的height，先比较一下倍增算法和DC3算法好辣。

　　　　　　DC3　　　　　　　　　　倍增法

时间复杂度　O(n)(但是常数很大)　　   O(nlogn)(常数较小)

空间复杂度   O(n)   　　　　　　　　　O(n)　

编程复杂度    较高  　　　　　　　　　 较低

　　由于在时间复杂度上DC3的常数比较大，再加上编程复杂度比较高，所以在解决问题的时候并不是最优选择。但是学到了后缀数组还是补充一下的好点。

　　DC3算法的实现：

　　1：先把文本串的后缀串分成两部分，第一部分是后缀串i mod 3 == 0, 第二部分是i mod 3 != 0，然后先用基数排序对第二部分后缀串排序(按照前三个字符进行排序)。

 int *san = sa+n, *rn = r+n, ta=, tb=(n+)/, tbc=, i, j, p;
 //ta i mod 3==0的个数，tb i mod 3==1的个数， tbc imod3!=0的个数
 for (i=; i<n; i++)
     if (i % )
         x[tbc ++] = i;

 r[n] = r[n+] = ;//在文本串后面添加两个0，便于处理
 Sort (r+, x, y, tbc, m);
 Sort (r+, y, x, tbc, m);
 Sort (r, x, y, tbc, m);

　　然后把suffix[1]与suffix[2]数组连起来，每三个相邻的字符看做一个数，变成这个样子：

操作代码如下：

 rn[F(y[])] = ;
 for (i=, p=; i<tbc; i++)
     rn[F(y[i])] = c0(r, y[i-], y[i])?p-:p++;
 //#define F(x) x/3+(x%3==1?0:tb)
 //F(x) 求原字符串suffix(i)在新串中的位置

如果p>=tbc的话，也就是说只排列前三个字符就可以区分出第二部分后缀串的顺序了，否则就要进行递归继续对第二部分的串进行排序。

 if (p < tbc)
     DC3 (rn, san, tbc, p);
 else
     for (i=; i<tbc; i++)
         san[rn[i]] = i;

　　2：对第一部分后缀来说：

　　suffix[3*i] = r[3*i] + suffix[3*i+1];

　　suffix[3*j] = r[3*j] + suffix[3*j+1]; 我们已知i mod 3 == 1 的所有suffix[i]的顺序了，可以利用基数排序很快的求出第一部分后缀的顺序。

 for (i=; i<tbc; i++)
     if (san[i] < tb)
         y[ta++] = san[i]*;
 if (n% == )
 //对于n%3==1时，不存在suffix[n-1] == r[n] + suffix[n];
     y[ta++] = n - ;
 Sort (r, y, x, ta, m);//对mod3==0的后缀串排序

　　3：第一部分后缀数组和第二部分后缀数组都排好序以后，可以对两部分后缀数组进行一次简单的归并排序，然后sa数组就完美呈现了。

 //#define G(x) x>=tb?(x-tb)*3+2:x*3+1
 //新文本串中suffix(i)在原文本串中的位置
 for (i=; i<tbc; i++)
     c[y[i] = G(san[i])] = i;
 for (i=, j=, p=; i<ta&&j<tbc; p++)
     sa[p] = c12 (y[j]%, r, y[j], x[i])?y[j++]:x[i++];
 for (; j<tbc; j++)
     sa[p++] = y[j];
 for (; i<ta; i++)
     sa[p++] = x[i];

c12就是比较第一部分与第二部分串的大小：

suffix [3*i] = r[3*i] + suffix[3*i+1];

suffix [3*j+1] = r[3*j+1] + suffix[3*j+2]; 已知suffix[3*i+1]与suffix[3*i+2]所对应的大小关系，可以比较r[3*i]与r[3*j+1]的大小得出最终结果。

suffix [3*i] = r[3*i] + suffix[3*i+1];

suffix [3*j+2] = r[3*j+2] + suffix[3*(j+1)]; 这个我们可以先比较 r[3*i] 与 r[3*j+2] 的大小，然后再比较 suffix[3*i+1] 与 suffix[3*(j+1)] ，这样就把问题转化为了第一种情况咯。

 bool c12 (int k, int *r, int a, int b)
 {//return 真 suffix[b]大，return false suffix[a]大
     if (k == )
         return r[a]<r[b] || (r[a]==r[b]&&c[a+]<c[b+]);
     return r[a]<r[b] || (r[a]==r[b]&&c12(, r, a+, b+));
 }

对于和后缀数组相关的这两个算法，其实并没有什么难点。难理解的点就在于基数排序对数组的使用，手动模拟几遍就OK辣！

最后再附上一个完整的DC3代码

 #define F(x) x/3+(x%3==1?0:tb)
 #define G(x) x>=tb?(x-tb)*3+2:x*3+1

 const int maxn = ;
 int c[maxn*], x[maxn*], y[maxn*];
 int sa[maxn*], rank[maxn*];

 bool c0 (int *r, int a, int b)
 {
     return r[a]==r[b] && r[a+]==r[b+] && r[a+]==r[b+];
 }

 bool c12 (int k, int *r, int a, int b)
 {
     //return 真 suffix[b]大，return false suffix[a]大
     if (k == )
         return r[a]<r[b] || (r[a]==r[b]&&c[a+]<c[b+]);
     return r[a]<r[b] || (r[a]==r[b]&&c12(, r, a+, b+));
 }

 void Sort (int *r, int *a, int *b, int n, int m)
 {
     for (int i=; i<m; i++) c[i] = ;
     for (int i=; i<n; i++) c[r[a[i]]] ++;
     for (int i=; i<m; i++) c[i] += c[i-];
     for (int i=n-; i>=; i--)
         b[--c[r[a[i]]]] = a[i];
 }

 void DC3 (int *r, int *sa, int n, int m)
 {
     int *san = sa+n, *rn = r+n, ta=, tb=(n+)/, tbc=, i, j, p;
     for (i=; i<n; i++) if (i % )  x[tbc ++] = i;

     r[n] = r[n+] = ;
     Sort (r+, x, y, tbc, m);
     Sort (r+, y, x, tbc, m);
     Sort (r, x, y, tbc, m);

     rn[F(y[])] = ;
     for (i=, p=; i<tbc; i++)
         rn[F(y[i])] = c0(r, y[i-], y[i])?p-:p++;
     //rn[i] 起始位置为i的排名

     if (p < tbc)
         DC3 (rn, san, tbc, p);
     else
         for (i=; i<tbc; i++)
             san[rn[i]] = i;

     for (i=; i<tbc; i++)
         if (san[i] < tb)
             y[ta++] = san[i]*;

     if (n% == )
         y[ta++] = n - ;

     Sort (r, y, x, ta, m);//对mod3==0的后缀串排序
     for (i=; i<tbc; i++)
         c[y[i] = G(san[i])] = i;

     for (i=, j=, p=; i<ta&&j<tbc; p++)
         sa[p] = c12 (y[j]%, r, y[j], x[i])?y[j++]:x[i++];
     for (; j<tbc; j++)
         sa[p++] = y[j];
     for (; i<ta; i++)
         sa[p++] = x[i];

     return;
 }