【bzoj4242】水壶 BFS+最小生成树+倍增LCA

题目描述

JOI君所居住的IOI市以一年四季都十分炎热著称。

IOI市是一个被分成纵H*横W块区域的长方形，每个区域都是建筑物、原野、墙壁之一。建筑物的区域有P个，编号为1...P。

JOI君只能进入建筑物与原野，而且每次只能走到相邻的区域中，且不能移动到市外。

JOI君因为各种各样的事情，必须在各个建筑物之间往返。虽然建筑物中的冷气设备非常好，但原野上的日光十分强烈，因此在原野上每走过一个区域都需要1单位的水。此外，原野上没有诸如自动售货机、饮水处之类的东西，因此IOI市的市民一般都携带水壶出行。大小为x的水壶最多可以装x单位的水，建筑物里有自来水可以将水壶装满。

由于携带大水壶是一件很困难的事情，因此JOI君决定携带尽量小的水壶移动。因此，为了随时能在建筑物之间移动，请你帮他写一个程序来计算最少需要多大的水壶。

现在给出IOI市的地图和Q个询问，第i个询问(1<=i<=Q)为“在建筑物Si和Ti之间移动，最小需要多大的水壶？”，请你对于每个询问输出对应的答案。

输入

第一行四个空格分隔的整数H,W,P,Q，表示IOI市被分成了纵H*横W块区域，有P个建筑物，Q次询问。

接下来H行，第i行(1<=i<=H)有一个长度为W的字符串，每个字符都是’.’或’#’之一，’.’表示这个位置是建筑物或原野，’#’表示这个位置是墙壁。

接下来P行描述IOI市每个建筑物的位置，第i行(1<=i<=P)有两个空格分隔的整数Ai和Bi，表示第i个建筑物的位置在第Ai行第Bi列。保证这个位置在地图中是’.’

接下来Q行，第i行(1<=i<=Q)有两个空格分隔的整数Si和Ti，表示第i个询问为“在建筑物Si和Ti之间移动，最小需要多大的水壶？”

输出

输出Q行，第i行(1<=i<=Q)一个整数，表示在建筑物Si和Ti之间移动最小需要多大的水壶。如果无法到达，输出-1。此外，如果不需要经过原野就能到达，输出0。

样例输入

5 5 4 4
.....
..##.
.#...
..#..
.....
1 1
4 2
3 3
2 5
1 2
2 4
1 3
3 4

样例输出

3
4
4
2

---

题解

BFS+最小生成树+倍增LCA

一眼货车运输的既视感，然而需要先知道两个点之间的距离。

好在这种网格图是可以BFS的，所以把每个建筑物压到队列中，跑BFS，记录每个点被哪个点所搜到，以及与搜到点的距离是多少。

当搜到另一个被其它点搜到过的点时，将它们被搜到的建筑物之间连边，这样边集只有$O(4wh)$。然后跑Kruskal。

（这里需要注意的是直接将这两个点在并查集中合并是不行的，因为搜到的不一定是最短距离；而按照距离排序搜索也是不对的。必须把所有可能的边连上跑最小生成树才可行。）

这个过程中可以按照距离将所有的边放到类似于桶的东西中，形成若干个链表（或者使用vector），这样能够省去排序的过程。

然后get到最小生成树之后跑倍增LCA即可。注意跑LCA时求的答案是路径最大值，不是最小值。

另外，本题不仅仅是一棵树，可能是森林，所以需要把每棵树都遍历一遍。别忘判断-1的情况。

时间复杂度$O(wh+m\log n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define K 2010
#define N 200010
using namespace std;
int first[K * K] , px[K * K * 2] , py[K * K * 2] , last[K * K * 2] , tot;
int map[K][K] , vis[K][K] , dis[K][K] , f[N] , qx[K * K] , qy[K * K] , l = 1 , r , head[N] , to[N << 1] , len[N << 1] , next[N << 1] , cnt , fa[19][N] , val[19][N] , deep[N] , log[N];
char str[K];
struct data
{
	int x , y;
	data() {}
	data(int x0 , int y0) {x = x0 , y = y0;}
}tmp[5];
bool cmp(data a , data b)
{
	return map[a.x][a.y] && map[b.x][b.y] ? vis[a.x][a.y] && vis[b.x][b.y] ? dis[a.x][a.y] < dis[b.x][b.y] : vis[a.x][a.y] : map[a.x][a.y];
}
int find(int x)
{
	return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
void add(int x , int y , int z)
{
	to[++cnt] = y , len[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
	to[++cnt] = x , len[cnt] = z , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
void ins(int t , int x , int y)
{
	px[++tot] = x , py[tot] = y , last[tot] = first[t] , first[t] = tot;
}
void drive(int x1 , int y1 , int x2 , int y2)
{
    if(!map[x2][y2]) return;
    if(!vis[x2][y2]) vis[x2][y2] = vis[x1][y1] , dis[x2][y2] = dis[x1][y1] + 1 , qx[++r] = x2 , qy[r] = y2;
    else if(vis[x1][y1] != vis[x2][y2]) ins(dis[x1][y1] + dis[x2][y2] , vis[x1][y1] , vis[x2][y2]);
}
void dfs(int x)
{
	int i;
	for(i = 1 ; i <= log[deep[x]] ; i ++ )
		fa[i][x] = fa[i - 1][fa[i - 1][x]] , val[i][x] = max(val[i - 1][x] , val[i - 1][fa[i - 1][x]]);
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa[0][x])
			fa[0][to[i]] = x , val[0][to[i]] = len[i] , deep[to[i]] = deep[x] + 1 , dfs(to[i]);
}
int query(int x , int y)
{
	if(find(x) != find(y)) return -1;
	int i , ans = 0;
	if(deep[x] < deep[y]) swap(x , y);
	for(i = log[deep[x] - deep[y]] ; ~i ; i -- )
		if(deep[x] - deep[y] >= (1 << i))
			ans = max(ans , val[i][x]) , x = fa[i][x];
	for(i = log[deep[x]] ; ~i ; i -- )
		if(deep[x] >= (1 << i) && fa[i][x] != fa[i][y])
			ans = max(ans , max(val[i][x] , val[i][y])) , x = fa[i][x] , y = fa[i][y];
	if(x != y) ans = max(ans , max(val[0][x] , val[0][y]));
	return ans;
}
int main()
{
	int h , w , n , m , i , j , x , y;
	scanf("%d%d%d%d" , &h , &w , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= h ; i ++ )
	{
		scanf("%s" , str + 1);
		for(j = 1 ; j <= w ; j ++ ) map[i][j] = (str[j] == '.');
	}
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		scanf("%d%d" , &qx[i] , &qy[i]) , vis[qx[i]][qy[i]] = f[i] = i , dis[qx[i]][qy[i]] = 0;
	for(r = n ; l <= r ; l ++ )
		x = qx[l] , y = qy[l] , drive(x , y , x + 1 , y) , drive(x , y , x - 1 , y) , drive(x , y , x , y + 1) , drive(x , y , x , y - 1);
	for(i = 0 ; i <= h * w ; i ++ )
	{
		for(j = first[i] ; j ; j = last[j])
		{
			x = px[j] , y = py[j];
			if(find(x) != find(y)) f[f[x]] = f[y] , add(x , y , i);
		}
	}
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) log[i] = log[i >> 1] + 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if(!fa[0][i]) dfs(i);
	while(m -- ) scanf("%d%d" , &x , &y) , printf("%d\n" , query(x , y));
	return 0;
}