[loj3285]Circus
将奶牛的状态用序列$\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\}$来描述,其中$a_{i}$表示第$i$头奶牛的位置(奶牛数量为$m$)
下面,先来考虑对于某个特定的$m$如何处理:
对于一条简单路径,如果路径中(不包括端点)所有点度数均为2且端点的度数均不为2(允许为1),则称该路径为一条"链",显然树上每一条边都恰属于一条链
对于一条链,假设链上的点(包括端点)构成的集合为$C$,删去$C$中的点后被划分为$A$和$B$两个连通块
记$k=|C|-(n-m)$,若存在$k\ge 0$的链,那么任取一个状态$\{a_{i}\}$并令$S=\{a_{i}\}$(集合),简单分析不难得到若$A,B\not\subseteq S$则$S\cap C\ne \empty$,因此构造如下变换:
若$A\not\subseteq S$,将$S\cap C$中最靠近$A$中(任意一点)的点(显然唯一)移动到$A$中(不关心顺序),同理对$B$做此操作,那么即有$A,B\subseteq S$,进而由此可得$|S\cap C|=k$
根据此变换,每一个状态都与某个$A,B\subseteq S$的状态等价,因此仅考虑这类状态中的等价类数即可
注意到$S\cap C$中的点恒在$C$中且顺序不变,因此这些点的贡献可以看作$k!{m\choose k}$,同时由于这些点使得$A$和$B$中点无法交换,因此又即可以变为两个子问题
具体的,令$C_{A}$和$C_{B}$分别为最靠近$A$和$B$中的$|C|-k$个点,子问题的点集即分别为$A\cup C_{A}$和$B\cup C_{B}$,并且分别要选$|A|$和$|B|$头奶牛,另外编号选择还有${m-k\choose |A|}$的贡献
关于$C_{A}$和$C_{B}$,即将中间的$k$个点都移到另一边,那么就空出了这$|C|-k$个位置
重复此过程,直至不存在$k\ge 0$的链,那么这个子问题中任意两个状态都等价,这可以归纳证明
下面,来简单分析一下此递归过程:
1.递归过程中$n-m$的值不变,且代入可得$|C_{A}|=|C_{B}|=n-m$
2.若$m\le n-2$,也即$|C_{A}|=|C_{B}|\ge 2$,那么注意到链的端点仍存在且度数不变,而除了$C_{A}$和$C_{B}$的末尾外其余点度数也不会变化,从而链的划分形式变化即删除了一条链$C$并加入了$C_{A}$和$C_{B}$这两条链
因此,链只需要初始预处理并找出所有$|C|\ge n-m$的链,假设链长(指$|C|$)依次为$l_{1},l_{2},...,l_{k}$,并且将这些链中的点删除后(保留端点),连通块节点数依次为$a_{1},a_{2},...,a_{k+1}$(显然删除一条链恰好增加一个连通块),那么贡献即
$$
{m\choose a_{i}-(n-m),l_{i}-(n-m)}\prod_{i=1}^{k}(l_{i}-(n-m))!
$$
注意$a_{i}$要包含$C_{A}$和$C_{B}$,计算方式即$(n-m-1)\cdot$参与删除的次数+当前节点数
同时,此时剩下的每一个连通块中不存在$k\ge 0$的链,根据前面的结论任意两个状态等价,也即对答案的贡献为1,因此上述贡献即为答案
对于所有$1\le m\le n-2$,不难发现$\sum k$中每一条链贡献恰为$o(l_{i})$,而由于一条边恰属于一条链因此该值和为$o(n)$,换言之可以暴力计算(指$o(k)$)上述贡献
由此,先将所有链删除,并将其按照$m$从大到小后依次合并,使用并查集维护即可
另外,为了快速找到所有$a_{i}$,可以用一个set维护并查集的根
最终,还有$m\ge n-1$的情况,显然此时答案即为$m!$
时间复杂度为$o(n\log n)$,可以通过


1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 100005
4 #define mod 1000000007
5 #define ll long long
6 struct Data{
7 int x,y,len;
8 bool operator < (const Data &k)const{
9 return len<k.len;
10 }
11 };
12 vector<int>v[N];
13 vector<Data>L;
14 set<int>S;
15 set<int>::iterator it;
16 int n,rt,x,y,fac[N],inv[N],d[N],f[N],sz[N],Sz[N],ans[N];
17 int find(int k){
18 if (k==f[k])return k;
19 return f[k]=find(f[k]);
20 }
21 int merge(int x,int y){
22 x=find(x),y=find(y);
23 S.erase(y);
24 f[y]=x,sz[x]+=sz[y],Sz[x]+=Sz[y];
25 return x;
26 }
27 int C(int n,int m){
28 return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
29 }
30 void dfs(int k,int fa){
31 f[k]=fa;
32 if ((fa)&&(d[k]!=2)){
33 int pos=f[k],tot=2;
34 for(;d[pos]==2;pos=f[pos])tot++;
35 L.push_back(Data{k,pos,tot});
36 }
37 for(int i=0;i<v[k].size();i++)
38 if (v[k][i]!=fa)dfs(v[k][i],k);
39 }
40 int main(){
41 fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
42 for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
43 for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
44 for(int i=1;i<N;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
45 scanf("%d",&n);
46 for(int i=1;i<n;i++){
47 scanf("%d%d",&x,&y);
48 d[x]++,d[y]++;
49 v[x].push_back(y);
50 v[y].push_back(x);
51 }
52 for(int i=1;i<=n;i++)
53 if (d[i]!=2)rt=i;
54 dfs(rt,0);
55 sort(L.begin(),L.end());
56 for(int i=1;i<=n;i++){
57 f[i]=i,sz[i]=1,Sz[i]=d[i];
58 if (d[i]!=2)S.insert(i);
59 }
60 for(int i=n-2,j=0;i;i--){
61 while ((j<L.size())&&(L[j].len<n-i)){
62 int k=merge(L[j].x,L[j].y);
63 sz[k]+=L[j].len-2,Sz[k]-=2;
64 j++;
65 }
66 ans[i]=1;
67 int m=i;
68 for(it=S.begin();it!=S.end();it++){
69 int s=sz[(*it)]+(n-i-1)*Sz[(*it)]-(n-i);
70 ans[i]=(ll)ans[i]*C(m,s)%mod;
71 m-=s;
72 }
73 for(int k=j;k<L.size();k++){
74 int l=L[k].len-(n-i);
75 ans[i]=(ll)ans[i]*C(m,l)%mod*fac[l]%mod;
76 m-=l;
77 }
78 }
79 ans[n-1]=fac[n-1],ans[n]=fac[n];
80 for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
81 return 0;
82 }
[loj3285]Circus的更多相关文章
- [CareerCup] 11.7 Tower of People in Circus 马戏团的人塔
11.7 A circus is designing a tower routine consisting of people standing atop one another's shoulder ...
- cf------(round)#1 C. Ancient Berland Circus(几何)
C. Ancient Berland Circus time limit per test 2 seconds memory limit per test 64 megabytes input sta ...
- HDU 5515 Game of Flying Circus 二分
Game of Flying Circus Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem ...
- 难部署的taiga,式微的circus——趋势从进程管理到容器管理,简单才是美
一直需要一个项目管理系统,一直没时间弄. taiga是github上搜project management star最多的项目,又是基于django用python写的后端,所以就用它: 但是,集中精力 ...
- Codeforces Beta Round #1 C. Ancient Berland Circus 计算几何
C. Ancient Berland Circus 题目连接: http://www.codeforces.com/contest/1/problem/C Description Nowadays a ...
- AC日记——codeforces Ancient Berland Circus 1c
1C - Ancient Berland Circus 思路: 求出三角形外接圆: 然后找出三角形三条边在小数意义下的最大公约数; 然后n=pi*2/fgcd; 求出面积即可: 代码: #includ ...
- CodeForces - 1C:Ancient Berland Circus (几何)
Nowadays all circuses in Berland have a round arena with diameter 13 meters, but in the past things ...
- circus && web comsole docker-compose 独立部署web console 的一个bug
如果直接使用以下的docker-compose 文件部署会有通过多播通信获取endpoint 异常的问题(circus 在stats endpoint 获取少了一个c) 这个问题是部分网络情况下会出现 ...
- circus security 来自官方的安全建议
转自:https://circus.readthedocs.io/en/latest/design/security/ Circus is built on the top of the ZeroMQ ...
随机推荐
- MySQL where子句的使用
MySQL WHERE 子句 我们知道从 MySQL 表中使用 SQL SELECT 语句来读取数据. 如需有条件地从表中选取数据,可将 WHERE 子句添加到 SELECT 语句中. 语法 以下是 ...
- 三种方法求解最大子区间和:DP、前缀和、分治
题目 洛谷:P1115 最大子段和 LeetCode:最大子序和 给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\),选出其中连续且非空的一段使得这段和最大. 挺经典的一道题目,下面分别介绍 \(O(n) ...
- 硝烟中的Scrum和XP
硝烟中的Scrum和XP 初次接触Scrum和XP(更加准确的说是"看到"),心里不免有些疑问,软件开发为什么会有如此多的方式,难道软件开发.软件工程不就是写写代码的事儿吗?直到后 ...
- Java初步学习——2021.09.23每日报告,第三周周四
(1)今天做了什么: (2)明天准备做什么? (3)遇到的问题,如何解决? 学习数组,编写了一个随机选牌的代码.自己最开始一直想只设置一个字符串数组,利用随机数来输出,但那样对字符串赋值会比较麻烦.可 ...
- CF1082E Increasing Frequency (multiset+乱搞+贪心)
题目大意: \(给你n个数a_i,给定一个m,你可以选择一个区间[l,r],让他们区间加一个任意数,然后询问一次操作完之后,最多能得到多少个m\) QWQ 考场上真的** 想了好久都不会,直到考试快结 ...
- 魔改swagger:knife4j的另外一种打开方式
之前公司使用了swagger作为文档管理工具,原生的swagger-ui非常丑,之后就用了开源项目 萧明 / knife4j 的swagger组件进行了swagger渲染,改造之后界面漂亮多了,操作也 ...
- 编程模仿MySql客服端
写在前面 通过自己编写的Java代码程序,去模仿实现MySql客服端的简单功能,最终以控制台操作,很像在Dos窗口通过命令操作MySql数据库. 关键问题 在编写过程中遇到的一些小问题和一些值得留心注 ...
- PTA数据结构 习题3.6 一元多项式的乘法与加法运算 (20分)
一元多项式的乘法与加法运算 https://pintia.cn/problem-sets/434/problems/5865 设计函数分别求两个一元多项式的乘积与和. 时间限制:200 ms 内存限制 ...
- pycharm安装第三方库
https://jingyan.baidu.com/article/4853e1e54b845e1909f7268f.html
- AIApe问答机器人Scrum Meeting 5.3
Scrum Meeting 6 日期:2021年5月3日 会议主要内容概述:汇报两日工作. 一.进度情况 组员 负责 两日内已完成的工作 后两日计划完成的工作 工作中遇到的困难 李明昕 后端 与前端对 ...