Atcoder Grand Contest 032 E - Modulo Pairing(乱搞+二分)
神仙调整+乱搞题。
首先某些人(including me)一看到最大值最小就二分答案,事实上二分答案对这题正解没有任何启发。
首先将 \(a_i\) 从小到大排序。我们考虑将分配的点对看作一条条线,对于 \(a_x+a_y<M\) 的点对 \((x,y)\) 我们在 \(x,y\) 之间连一条蓝线,对于 \(a_x+a_y\ge M\) 的点对我们在 \(x,y\) 之间连一条红线。
先抛结论,再给证明:如在最优分配方式中,我们的连线方式肯定是长这样的:
证明:使用调整法,证明上述命题,等价于证明对于以下 \(7\) 种情况,左边的情况都可以被调整为右边的情况且答案不会更劣(这里借用了粉兔题解中的图):
我们考虑一一对其进行证明,为了表述方便我们统一假设从左到右四个点分别为 \(a_p,a_q,a_r,a_s\),则显然 \(a_p\le a_q\le a_r\le a_s\):
- 对于左边第一个的情况,左边的最大值为 \(\max(a_p+a_q,a_r+a_s)=a_r+a_s\),右边的最大值为 \(\max(a_p+a_s,a_q+a_r)\),而由于 \(a_p+a_s\le a_r+a_s,a_q+a_r\le a_r+a_s\),故右边答案不会比左边更劣。
- 对于右边第一个的情况,左边的最大值为 \(\max(a_p+a_r,a_q+a_s-M)\),而由于 \(a_s-M<0\),故 \(a_q+a_s-M<a_q<a_p+a_r\),故左边的最大值实际上是 \(a_p+a_r\),右边的最大值为 \(\max(a_p+a_q,a_r+a_s-M)\),而显然 \(a_p+a_q\le a_p+a_r,a_r+a_s-M<a_r\le a_p+a_r\),故右边答案不会比左边更劣,同时又因为 \(a_p+a_q\le a_p+a_r<M,a_r+a_s\ge a_q+a_s\ge M\),故 \(a_p,a_q\) 之间连的依旧是蓝线,\(a_r,a_s\) 之间连的依旧是红线。
- 对于左边第二个的情况,左边的最大值为 \(a_q+a_s\),右边的最大值为 \(\max(a_p+a_s,a_q+a_r)\),而 \(a_p+a_s\le a_q+a_s,a_q+a_r\le a_q+a_s\),故右边答案不会比左边更劣。
- 对于右边第二个的情况,左边的最大值为 \(\max(a_p+a_s,a_q+a_r-M)=a_p+a_s\),右边的最大值为 \(\max(a_p+a_q,a_r+a_s-M)\),又由于 \(a_p+a_q\le a_p+a_s,a_r+a_s-M<a_r\le a_p+a_s\),故右边答案不会比左边更劣。
- 对于左边第三、四个的情况,证明方法同左边第一、二个,只不过需要整体减个 \(M\)。
- 对于右边第三个的情况,左边最大值为 \(\max(a_q+a_r,a_p+a_s-M)=a_q+a_r\),右边最大值为 \(\max(a_p+a_q,a_r+a_s-M)\),又由于 \(a_p+a_q\le a_q+a_r,a_r+a_s-M<a_r\le a_q+a_r\),故右边答案不会比左边更劣。
综上,只要出现线相交或者不同颜色的线出现包含关系的情况,都可以被调整,证毕。
接下来考虑怎样求答案,暴力枚举分割点显然是不可行的,不过注意到对于两个不同且均合法的分割点 \(p\) 和 \(p'\),如果 \(p<p'\),那么以 \(p\) 为分割点的每条线的权值都小于以 \(p'\) 为分割点的每条线的权值,因此我们肯定希望分割点越靠左越好,而如果我们分割点太左了(yyq:政治学得很好嘛),那就会出现右侧有的线不是红线的情况,因此我们可以二分找出合法的且最靠左的分割点 \(p\),然后求出答案即可。
时间复杂度线性对数。
namespace fastio{
#define FILE_SIZE 1<<23
char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
inline void putc(char x){(*p3++=x);}
template<typename T> void read(T &x){
x=0;char c=getchar();T neg=0;
while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
if(neg) x=(~x)+1;
}
template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
template<typename T> void print(T x,char c){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);putc(c);}
void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
using namespace fastio;
const int MAXN=1e5;
int n,m,a[MAXN*2+5];
int add(int x,int y){return (x+y<m)?(x+y):(x+y-m);}
bool check(int mid){bool flg=1;for(int i=(mid<<1)+1;i<=n<<1;i++) flg&=(a[i]+a[(n<<1)+(mid<<1)+1-i]>=m);return flg;}
int main(){
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=n<<1;i++) read(a[i]);
sort(a+1,a+(n<<1)+1);int l=0,r=n,p=-1;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(check(mid)) p=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
} int mx=0;
// printf("%d\n",p);
for(int i=1;i<=p<<1;i++) chkmax(mx,add(a[i],a[(p<<1)+1-i]));
for(int i=(p<<1)+1;i<=n<<1;i++) chkmax(mx,add(a[i],a[(n<<1)+(p<<1)+1-i]));
printf("%d\n",mx);
return 0;
}
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