Godunov's 定理

Godunov's theorem

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目录

• Godunov's theorem
  • 简介
  • 定理
    • 定理1. 单调保持性（Monotonicity preserving）
    • 定理2. Godunov’s Order Barrier Theorem
  • 参考

简介

在数值计算和计算流体动力学中，Godunov定理（Godunov's theorem 或 Godunov's order barrier theorem）是采用高精度数值方法计算偏微分方程中的重要数学定理。

定理陈述为：

采用线性数值格式求解偏微分方程时，如果数值解不产生新的极值，那么格式精度最多为1阶。

Sergei K. Godunov 教授首先在其博士阶段（莫斯科国立大学）证明这个定理。这是他在应用数学研究中最具影响的工作，对科学与工程及其他领域特别是计算流体力学（CFD）有深刻的影响。

定理

同样可参考Wesseling (2001)。

假设一个连续体问题由PDE描述，并且使用数值方法在进行计算，只进行一步，均匀网格，\(M\)个节点，积分算法，显式或者隐式。如果 \(x_j = j\Delta x\)，\(t^n = n\Delta t\)，那么一个数值格式可以表示为

\[\begin{equation}
\sum^{M}_{m = 1}\beta_m \varphi_{j+m}^{n+1} = \sum^{M}_{m = 1}\alpha_m \varphi_{j+m}^{n}
\end{equation}\]

换句话说，计算值 \(\varphi_{j}^{n+1}\) 在时刻 \(n+1\) 节点 \(j\) 是当前时刻解 \(n\) 的线性函数形式。我们假设 \(\beta_m\) 唯一的决定了 \(\varphi_{j}^{n+1}\)。现在，既然上述方程代表了 \(\varphi_{j}^{n+1}\) 与 \(\varphi_{j}^{n}\) 之间线性关系，那么我们可以采用线性转换得到下面等价形式，

\[\begin{equation}
\varphi_{j}^{n+1} = \sum^{M}_{m = 1}\gamma_m \varphi_{j+m}^{n}
\end{equation}\]

定理1. 单调保持性（Monotonicity preserving）

若格式（2）是单调保持的，那么

\[\begin{equation}
\gamma_m \ge 0
\end{equation}\]

证明：Godunov (1959)

case 1：充分性

假设 \(\varphi_{j}^{n}\) 是随 \(j\) 单调递增的，那么，由于 $\varphi_{j}^{n} \le \varphi_{j+1}^{n} \le \cdots \le \varphi_{j+m}^{n} $，因此

\[\begin{equation}
\varphi_{j}^{n+1} - \varphi_{j-1}^{n+1} = \sum^{M}_{m = 1}\gamma_m (\varphi_{j+m}^{n} - \varphi_{j+m-1}^{n}) \ge 0
\end{equation}\]

即 $\varphi_{j}^{n+1} \le \varphi_{j+1}^{n+1} \le \cdots \le \varphi_{j+m}^{n+1} $，得证。

case 2：必要性

由矛盾证明必要性。

假设 \(\gamma_p < 0\)，\(p\) 为某个节点，采用如下单调增加的序列 \(\varphi_{j}^{n}\)

\[\begin{equation}
\varphi_{j}^{n} = 0, \quad i < k; \quad \varphi_{j}^{n} = 1, \quad i \ge k.
\end{equation}\]

根据方程（2）可以得到

\[\begin{equation}
\varphi_{j}^{n+1} - \varphi_{j-1}^{n+1} = \sum^{M}_{m = 1}\gamma_m (\varphi_{j+m}^{n} - \varphi_{j+m-1}^{n}) = \left\{
\begin{array}{ll}
0, & [j+m \ne k] \cr
\gamma_m, & [j+m =k]
\end{array}
\right.
\end{equation}\]

现在令 \(j = k - p\)， 那么

\[\begin{equation}
\varphi_{k-p}^{n+1} - \varphi_{k-p-1}^{n+1} = \gamma_p(\varphi_{k}^{n} - \varphi_{k-1}^{n}) < 0
\end{equation}\]

这与 \(\varphi_{j}^{n+1}\) 的单调性矛盾，得证。

定理2. Godunov’s Order Barrier Theorem

若使用单步，二阶精度求解对流方程

\[\begin{equation}
\frac{\partial \varphi}{\partial t} + c \frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0, \quad t>0
\end{equation}\]

只有当

\[\begin{equation}
\sigma = |c|\frac{\Delta t}{\Delta x} \in \mathcal{N}
\end{equation}\]

时，格式才是单调保持的，

其中 \(\sigma\) 为柯朗数（Courant–Friedrichs–Lewy condition number）

证明：Godunov (1959)

假设初始解为

\[\begin{equation}
\varphi(0,x) = \big(\frac{x}{\Delta x} - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4}
\end{equation}\]

那么其精确解为

\[\begin{equation}
\varphi(t,x) = \big(\frac{x - ct}{\Delta x} - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4}
\end{equation}\]

假设格式至少有二阶精度，那么第0步与第1步精确解如下

\[\begin{equation}
\varphi_j^1 = \big(j - \sigma - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4}, \quad \varphi_j^0 = \big(j - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4}
\end{equation}\]

将方程（2）代入，得：

\[\begin{equation}
\big(j - \sigma - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4} = \sum_m^M \gamma_m \big[ \big(j+m - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4} \big]
\end{equation}\]

假设格式具有单调保持性质，那么根据定理1，\(\gamma_m \ge 0\)

因此

\[\begin{equation}
\big(j - \sigma - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4} \ge 0
\end{equation}\]

假设 \(\sigma>0\)，并且 \(\sigma \notin \mathcal{N}\)，那么存在 \(j\) 使得 \(j>\sigma>(j-1)\)，这使得

\[\begin{equation}
\big(j - \sigma - \frac{1}{2} \big)^2 - \frac{1}{4} = (j- \sigma)(j - \sigma - 1) < 0
\end{equation}\]

这与方程（16）矛盾，因此得证。

这里 \(\sigma = |c|\frac{\Delta t}{\Delta x} \in \mathcal{N}\) 仅是用于理论证明，并无法将其当作实际计算时系数，CFL为整数情况在实际计算中并不实用。

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这里，单调保持的格式即保证不出现新的极值

参考