UVA11427玩纸牌（全概率+递推）

题意：

      一个人玩纸牌游戏，他每天最多玩n局，枚举获胜的概率是a/b,每天玩牌只要获胜概率达到p，那么他今天就不玩了，明天接着玩，如果有一天他的概率没有达到p,(没有达到p的话他今天一定是玩了n次)，那么他以后就在也不玩了，问题是在平均的情况下，他能玩多少个晚上的牌？

思路：

      我们可以先算他只玩一天就失败了的概率，P[i][j]表示玩了i次，赢了j次，当

j/i<=p的时候，根据全概率公式，P[i][j] = P[i-1][j]*(1-p)+P[i-1][j-1]*p前面是输了后面是赢了，端点值是P[0][0] = 1 ,P[0][1] = 0,其他部分全都是0，记得要把其他部分清成0，因为更新是不连续的，这样之后只玩一天的概率等于Q = P[n][0] + P[n][1] +.....

这样答案就是(期望)

玩一天 1 * Q

玩两天 2 * Q(1-Q)

玩三天 3 * Q(1-Q)^2

......

化简后 Ans = 1 / Q;

说下化简的方法吧，有两种

（1）

   a 令s = EX/Q = 1+2(1-Q)+3(1-Q)^2+4(1-Q)^3+...

则

   b     (1-Q)s = (1-Q)+2(1-Q)^2+3(1-Q)^3+....

a - b得到

EX = Qs = 1+(1-Q)+(1-Q)^2+(1-Q)^3+..=1/Q

（2）

设数学期望为e天，把情况分为两类，第一天晚上出头丧气概率Q期望1，第一天晚上兴高采烈，概率（1-Q）期望e + 1,解得 e = Q * 1 + (1 - Q) * (e + 1) => e = 1/Q;

#include<stdio.h>

#include<string.h>

double P[105][105];

int main ()

{

   int n ,a ,b ,i ,j;

   int t ,cas = 1;

   scanf("%d" ,&t);

   while(t--)

   {

      scanf("%d/%d%d" ,&a ,&b ,&n);

      double p = a * 1.0 / b;

      memset(P ,0 ,sizeof(P));

      P[0][0] = 1 ,P[0][1] = 0;

      for(i = 1 ;i <= n ;i ++)

      for(j = 0 ;j * b <= i * a ;j ++)

      {

         P[i][j] = P[i-1][j] * (1 - p) ;

         if(j >= 1)P[i][j] +=  P[i-1][j-1] * p;

      }

      double Ans = 0;

      for(j = 0 ;j * b <= n * a ;j ++)

      Ans += P[n][j];

      printf("Case #%d: %d\n" ,cas ++ ,(int)(1 / Ans));

   }

   return 0;

}