Atcoder ARC-060

ARC060(2020.7.8)

A

背包板子

B

首先感觉这个东西应该不能直接 \(O(1)\) 算出来，那么复杂度应该就是 \(O(\log n), O(\sqrt{n}), O(\sqrt{n} \log n)\) 之类的，看数据范围可以猜到应该不是 \(O(\log n)\) 的（其实是不知道怎么做）。于是按照套路我们考虑根号分治，可以考虑枚举这个 \(b\)，那么对于 \(b \le \sqrt{n}\) 的部分，直接枚举即可，再 \(O(\log n)\) 判断。然后我们可以发现对于 \(b > \sqrt{n}\) 的部分，因为 \(b ^ 2 > n\) 那么 \(n\) 在 \(b\) 进制下最多只有两位，那么不妨设 \(pb + q = n\) 则 \(p + q = s\) 两式相减可得，\(p(b - 1) = n - s\)，则 \(b - 1 \mid n - s\) 于是可以考虑枚举 \(n - s\) 小于 \(\sqrt{n - s}\) 的约数 \(d\) 那么 \(b - 1 = \frac{n - s}{d}\) 这一部分的复杂度同样是 \(O(\sqrt{n} \log n)\) 的，因此总复杂度 \(O(\sqrt{n} \log n)\).

C

可以发现我们可以预处理出每个点再一天内往后最远能到达的点，于是问题就变成问从一个点最少往后跳几次能跳过另一个点，那么我们可以直接分块处理，预处理出一个点走出块内第一个点需要的最短跳跃次数，于是查询只需要跳块即可。那么复杂度就可以做到 \(O(n \sqrt{n})\) 了，那么还有没有更优秀的做法呢？实际上是有的，可以考虑倍增，那么类似于求 \(\rm LCA\) 的倍增方式跳到下标小于另一个点的第一个点，次数 \(+1\) 即是答案。

D

首先有一些特殊情况，首先如果原串是不循环的，那么答案就是 \(1, 1\)，其次如果原串中的每个元素都相同，那么答案就是 \(n, 1\)，对于剩下的情况，我认为将原循环串去掉最后一位剩下的串不可能是一个循环串，于是我大胆地猜测第一问的答案是 \(2\)，结果还猜对了。下面是一个关于字符串循环节很关键的一个性质：

给定两个正整数 \(p, q\) 如果一个长度不小于 \(p + q - \gcd(p, q)\) 的串 \(S\) 中存在长度为 \(p, q\) 的循环节，那么 \(\gcd(p, q)\) 也是 \(S\) 的循环节。

考虑将循环的意义用数学语言表达下来，不难发现对于 \(\forall i \in [1, n]\) 有 \(S_i = S_{i + p} = S_{i + q} = S_{i + px + qy}\)，根据裴蜀定理考虑到 \(px + qy = \gcd(p, q)\) 是一定有解的，那么就会有 \(S_i = S_{i + \gcd(p, q)}\) 也就意味着 \(\gcd(p, q)\) 也是一个循环节。

那么我们将原串去掉最后一位之后假设剩下的串最小循环节长度为 \(x\)，原串最小循环节长度为 \(y\)，因为 \(\gcd(n - 1, n) = 1\) 因此 \(n - 1, n\) 不会包含相同约数，因此 \(\gcd(x, y) = 1\)，那么根据上面的性质，将原串继续按照循环节延长，那么 \(1 \sim x \times y\) 这一段子串就一定会含有 \(x, y\) 两种循环节，那么 \(gcd(x, y) = 1\) 也会是一种循环节，因此原串中每一个字符都将相等与条件矛盾。

那么下面我们就只需要枚举中间的断点，判断左右是否都是不循环的即可。接下来又是一个非常重要的结论，一个字符串存在循环节的充要条件是 \(\exist x \mid n, S_{1, n - x} = S_{x + 1, n}\)

首先假设 \(S_{1, x}\) 是上图中的绿色部分，其他颜色分别是长度为 \(x\) 的块，因为 \(S_{1, n - x} = S_{x + 1, n}\) 那么相同颜色块应该相同，又根据在原串中的位置可以得到绿色块和黄色块相同，同理又可以得到黄色块和红色块相同，以此类推可以得到原串是个循环串。

得到循环串的判定条件后我们发现需要枚举这个长度 \(x\)，又因为 \(x \mid n\) 那么我们可以枚举 \(n\) 的约数，事实上因为我们需要知道的是前缀是否是循环的，那么第一个循环节都会是从 \(1\) 开始的，那么我们枚举第一个循环节的长度，那么能以该长度作为循环节的只有其倍数，那么我们再枚举一下其倍数 \(\rm Hash\) 一下就可以 \(O(1)\) 判断了，后缀也是类似的。那么最终统计答案就非常简单了。

可以发现上面那个做法的复杂度是 \(O(n \ln n)\) 的，那么能不能做到 \(O(n)\) 呢？事实上是可以的，需要使用到 \(kmp\) 的性质。

首先我们可以将判断是否循环的条件改成 \(n - nxt_{n} \mid n\)。首先我们可以知道如果 \(n - nxt_{n} \mid n\) 那么是一定有循环节的，类似上面的证明。下面来证明对于 \(n - nxt_{n} \nmid n\) 的情况不存在循环节。

首先考虑 \(nxt\) 数组的定义，不难发现有 \(S_{1, nxt_n} = S_{n - nxt_n + 1, n}\)，那么类似于第一种做法循环节的证明方法，可以发现 \(S_{1, n - nxt_n}\) 也可以在原串中循环只是不能刚好循环完毕，即最后一次循环只能出现部分。我们称这种循环节为伪循环节。

首先令 \(x = n - nxt_n\)，假设存在一个长度为 \(len\) 的循环节，显然 \(len \ne x\)。首先如果 \(len < x\)，那么显然 \(nxt_n\) 可以变大，矛盾。如果 \(x \mid len\) 既然 \(len\) 都能循环那么 \(x\) 一样能循环，矛盾。对于 \(x \nmid len\) 的情况，因为 \(x \nmid len\) 那么一定存在一个伪循环节会跨过第一个循环节和第二个循环节，假设这个伪循环节是第 \(k\) 个，那么 \(S_{len + 1, len + x} = S_{1, x} = S_{k \times x + 1, (k + 1) \times x}\) 可以发现 \(S_{len + 1, len + x}, S_{k \times x + 1, (k + 1) \times x}\) 重叠了一段区间且长度相同，那么 \(S_{len + 1, k \times x}\) 就可以作为一段新的伪循环节，且长度小于 \(x\)，那么 \(nxt_n\) 一样可以变大，矛盾。

那么我们 \(kmp\) 可以求出每个位置的 \(nxt\) 值，前缀后缀判断是可以 \(O(1)\) 做到的，因此总复杂度 \(O(n)\).

实际上循环节还有一个很奇妙的性质，即所有循环节长度都是最小循环节长度的倍数。假设存在两个个长度为 \(p, q(\gcd(p, q) \ne p)\) 的循环节，\(p\) 为长度最小的循环节。那么显然有 \(\gcd(p, q) < p\)，根据最开始的那条性质，\(\gcd(p, q)\) 也是一个循环节，那么最小循环节的长度就会是 \(\gcd(p, q)\) 而不是 \(p\)，矛盾。