洛谷P1925 最大划分乘积的数学解法

题目

最大划分乘积

题解

这道题用到一点导数和数论的知识，很容易看出这道题是求函数

\[f(x)=(\frac{n}{x})^{x}
\]

（ \(x\) 为正整数）的最大值。我们可以对 \(ln(f(x))\) 进行求导，求出 \(ln(f(x))\) 的最大值。

\[ln(f(x))=x(lnn-lnx)
\]

\[(ln(f(x)))'=lnn-lnx-1
\]

\(ln(f(x))\) 的最大值必然在 \(\lfloor \frac{n}{x} \rfloor\) 和 \(\lceil \frac{n}{x} \rceil\) 中取得。所以只需将这两个值代入取较大值即可。

对于两数相除是否为有限小数,只需将 \(x\) 除以 \(\gcd(n,x)\) 之后，再判断其能否表示为 \(2^{p_{1}}\times 5^{p_{2}}\ (p_{1}\in N,p_{2}\in N)\) ，能表示则代表其为有限小数。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double e = exp(1.000);

int gcd(int a, int b)
{
	return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

double cc(int n, int x)
{
	return (double)x * log((double)n / x);
}

int calc(int n)
{
	int x1 = n / e, x2 = n / e + 1;
	int x = cc(n, x1) > cc(n, x2) ? x1 : x2;
	int p = gcd(n, x);
	x /= p;
	while (x % 2 == 0)
		x /= 2;
	while (x % 5 == 0)
		x /= 5;
	return (x == 1) ? -n : n;
}

int main()
{
	int a;
	cin >> a;
	int res = 0;
	for (int i = 5; i <= a; i++)
		res += calc(i);
	cout << res;
	return 0;
}