题解 Hero meet devil

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题目大意

给出一个长度为 \(n\) 的字符串，对于每个 \(k\in [0,n]\)，求出有多少个长度为 \(m\) 的字符串满足两者最长公共子序列长度为 \(k\)。

\(n\le 15,m\le 10^3\)，答案对 \(10^9+7\) 取模。

思路

难得扣shi。。。

首先，我们发现如果对两个已知字符串求最长公共子序列，那么我们可以设 \(f_{i,j}\) 表示第 1 个字符串匹配到 \(i\)，第 2 个字符串匹配到 \(j\) 的最长匹配长度。不难得到转移式：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+1\{a_i=b_j\}
\]

\[f_{i,j}=\max\{f_{i-1,j},f_{i,j-1}\}
\]

于是你发现我们一个字符串其实并不需要知道每一位，我们只需要知道 \(f_{i,j}\) 即可。但是你发现你不好把这个压进状态里面，但是你发现对于每一个 \(i\)，\(j\) 每变化 \(1\) 位答案最多只会增加 \(1\)，于是你可以考虑把每一位的增加量存进状态里面，这样你就可以做到 \(\Theta(2^nm)\)了。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define mod 1000000007
#define MAXM 1005
#define MAXN 15

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

char s[MAXN];
int n,m,ans[MAXN],dp[1 << MAXN][MAXM];
void Add (int &a,int b){a = a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;} 

int a[MAXN],b[MAXN],trans[1 << MAXN][4];

int getid (char c){return c == 'A' ? 0 : (c == 'T' ? 1 : (c == 'C' ? 2 : 3));}

void init (){
	for (Int S = 0;S < 1 << n;++ S){
		for (Int i = 1;i <= n;++ i) a[i] = a[i - 1] + (S >> i - 1 & 1);
		for (Int i = 0;i < 4;++ i){
			for (Int j = 1;j <= n;++ j)
				if (getid (s[j]) == i) b[j] = a[j - 1] + 1;
				else b[j] = max (b[j - 1],a[j]);
			trans[S][i] = 0;
			for (Int j = 1;j <= n;++ j) trans[S][i] |= b[j] - b[j - 1] << j - 1;
		}
	}
}

int popcount (int S){
	int res = 0;for (Int i = 0;i < n;++ i) res += S >> i & 1;
	return res;
}

signed main(){
	int t;read (t);
	while (t --> 0){
		scanf ("%s",s + 1),read (m);
		n = strlen (s + 1),init ();
		memset (dp,0,sizeof (dp)),dp[0][0] = 1;
		for (Int i = 0;i < m;++ i)
			for (Int S = 0;S < 1 << n;++ S)
				for (Int j = 0;j < 4;++ j)
					Add (dp[trans[S][j]][i + 1],dp[S][i]);
		for (Int i = 0;i <= n;++ i) ans[i] = 0;
		for (Int S = 0;S < 1 << n;++ S) Add (ans[popcount (S)],dp[S][m]);
		for (Int i = 0;i <= n;++ i) write (ans[i]),putchar ('\n');
	}
	return 0;
}