LuoguP7094 [yLOI2020] 金陵谣 题解

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有 \(t\) 组询问，每组询问给定四个整数 \(a,b,c,d\)，请求出满足

\[\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{d}{y}
\]

的正整数对 \((x,y)\) 的个数。

数据范围：\(0\leqslant t\leqslant 20,1\leqslant a,b,c,d\leqslant 10^6,d\times c\leqslant 10^6\)。

Solution

提示性很强的一道题目。

我们先来尝试化简一下这个式子：

两边同时乘以 \(xcy\)，得 \(acy+bxy=dcx\)。

把含有 \(x\) 的项移到左边，得到 \(bxy-dcx=-acy\)

整理可得 \((dc-by)x=acy\)

\(\therefore x=\dfrac{acy}{dc-by}\)

化简到这里应该可以明白了：我们从小到大枚举 \(y\)，看是否有 \(acy\mod(dc-by)=0\)，如果满足的话必然会存在整数 \(x\)。

下界显然是 \(1\)，但是如何确定 \(y\) 枚举的上界呢？

让我们再来看看题目：

……满足 \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{d}{y}\) 的正整数对 \((x,y)\) 的个数。

……\(1\leqslant a,b,c,d\leqslant 10^6\)。

是否发现了什么？

题目中限制了 \(x,y,a,b,c,d\) 均为正整数！

而又因为 \(acy\) 必然是正整数，所以想要让 \(x\) 为正整数，必然要满足 \(dc-by\) 的结果也是个正整数才行，也就是 \(dc-by>0\)。

再以 \(y\) 为主元化简这个不等式：

\(-by>-dc\)

\(\therefore y<\dfrac{dc}{b}\)。

这下你应该就明白了。

但是！这里会出现一个 bug：当 \(\dfrac{dc}{b}\) 的结果是一个整数的时候，枚举的时候就不能够枚举到 \(\dfrac{dc}{b}\)。理由很容易想通。

所以，我们应当分类讨论一下上界：

• 当 \(b\mid dc\) 的时候，上界就是 \(\dfrac{dc}{b}-1\)。
• 否则，上界就是 \(\dfrac{dc}{b}\)。

以为我是在胡闹？再看题目：

……\(d\times c\leqslant 10^6\)。

好的，现在可以保证这样枚举不会爆炸了。于是就可以愉快地枚举了。

Code

int t, a, b, c, d;

int main() {
	t = Rint;
	while(t--) {
		a = Rint, b = Rint, c = Rint, d = Rint;
		int ans = 0;
		F(y, 1, d * c / b - (!((d * c) % b) ? 1 : 0)) {
			if(1ll * d * c - 1ll * b * y == 0) continue; //该行可省略
			if(!((1ll * a * c * y) % (1ll * d * c - 1ll * b * y)))
				ans++;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}