【题解】Luogu P2047 社交网络总结（Floyd算法，最短路计数）

题目描述

在社交网络（social network）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题。在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人之间的关系越密切。

我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s 和t之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。

考虑到两个结点A和B之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：I(v)=∑(s<>v,t<>v)Cs,t(v) / Cs,t

令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v从s到t的最短路的数目；则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。

为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。

现在给出这样一幅描述社交网络s的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。

输入输出格式

输入格式：

输入第一行有两个整数，n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号。

接下来m行，每行用三个整数a, b, c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。

输出格式：

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于1号结点而言，只有2号到4号结点和4号到2号结点的最短路经过1号结点，而2号结点和4号结点之间的最短路又有2条。因而根据定义，1号结点的重要程度计算为1/2+1/2=1。由于图的对称性，其他三个结点的重要程度也都是1。

50%的数据中：n ≤10，m ≤45

100%的数据中：n ≤100，m ≤4 500，任意一条边的权值c是正整数，满足：1 ≤c ≤1 000。

所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过10^10。

Solution：

这道题目思路比较简单：

1.预处理出最短路，因为范围小，采用弗洛伊德算法预处理

2.处理出从i到j点中间最短路条数[这一步算是整个代码中的精华，也是最难的的一部分了吧（我认为的最难，蒟蒻哎ORZ）]

3.就是计算答案啦啦

然后呢，这题就是思考那个奇奇怪怪的计算式子了

I(v)=∑(s<>v,t<>v)Cs,t(v) / Cs,t

A.首先呢解释下这个式子：

　　a.(s<>v,t<>v) s!=v&&t!=v 很好理解吧

　　b.Cs,t(v) 是所有s到t的最短路中，经过v的条数

　　c.Cs,t 是从s到t的最短路条数

B.然后思路步骤一很简单，就不说了，不清楚可以自行问度娘

C.步骤二的方法有很多我知道有两种

　　a.在弗洛伊德求最短路时同时更新路径条数[我用的这种，真的好容易打%%%想出来这种方法的人]

 for(int k=;k<=n;k++)//枚举中间点

     for(int i=;i<=n;i++)//枚举开头

     for(int j=;j<=n;j++)//枚举结尾

     {

         if(dis[i][k]==INF&&dis[k][j]==INF)continue;//INF是初始化定义的最大值
         if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])//满足更新条件

         {

             dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];//更新最短路径的值

             edge[i][j]=edge[i][k]*edge[k][j];//更新最短路径条数

             continue;

         }

         if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j])//和已算出来的最短路长度相等

         {edge[i][j]+=edge[i][k]*edge[k][j];}//累加路径条数

     }//dis  长度    edge   条数

　　b.这种方法见我的另一篇博客，里面讲的很详细，这个代码打的重点在求入度次数和拓扑排序

D.步骤三计算答案，这个重点就是在处理Cs,t(v)

　　1.dis[s][t]=dis[s][v]+dis[v][t] 这个很好理解吧如果S-V的最短距离加上V-T的最短距离等于S-T的最短距离那么V一定在S-T的最短路上

　　2.所以 Cs,t(v)= S-V的路径条数*V-T的路径条数

　　3.另外要枚举所有的 S - T 注意式子的∑(s<>v,t<>v)

　　4.应该没了顺便贴下我这部分的代码

 for(int i=;i<=n;i++)

     {

         for(int j=;j<=n;j++)

         for(int k=;k<=n;k++)

         {

             if(i==j||j==k||i==k)continue;

             if(dis[j][i]+dis[i][k]==dis[j][k])

                 ans[i]+=(1.0*edge[j][i]*edge[i][k])/edge[j][k];

         }

     }

　　最后，还要用拓扑排序的同学注意一点就是：重边，某点的入度被减为0[每有一条边指向点K，点K入度数减一，更新到K点路径条数]才能入队列，向下传递记录条数的数值。否则来一条边向下传一次，会使条数计算错误。[悲伤地是，我没改对这个注意的点，还是只有60分 ORZ][另一种方法过了]

贴一下整体AC代码吧

 #include<iostream>

 #include<cmath>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #define LL long long

 using namespace std;

 int read()

 {

     int x=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>'')ch=getchar();

     while(ch>=''&&ch<='')x=(x<<)+(x<<)+ch-'',ch=getchar();

     return x;

 }

 int n,m;

 LL INF;

 LL dis[+][+],edge[+][+];

 double ans[+];

 int main()

 {

     freopen("bestlink.in","r",stdin);

     freopen("bestlink.out","w",stdout);

     n=read();m=read();

     memset(dis,0x7f,sizeof(dis));

     memset(edge,,sizeof(dis));

     INF=dis[][];

     for(int i=;i<=m;i++)

     {

         LL x,y,z;

         x=read();y=read();z=read();

         dis[x][y]=dis[y][x]=z;

         edge[x][y]=edge[y][x]=;

     }

     for(int k=;k<=n;k++)

     for(int i=;i<=n;i++)

     for(int j=;j<=n;j++)

     {

         if(dis[i][k]==INF&&dis[k][j]==INF)continue;

         if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])

         {

             dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];

             edge[i][j]=edge[i][k]*edge[k][j];

             continue;

         }

         if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j])

         {edge[i][j]+=edge[i][k]*edge[k][j];}

     }

 /*    for(int i=1;i<=n;i++)

     for(int j=1;j<=n;j++)cout<<i<<' '<<j<<' '<<edge[i][j]<<endl;*/

     for(int i=;i<=n;i++)

     {

         for(int j=;j<=n;j++)

         for(int k=;k<=n;k++)

         {

             if(i==j||j==k||i==k)continue;

             if(dis[j][i]+dis[i][k]==dis[j][k])

                 ans[i]+=(1.0*edge[j][i]*edge[i][k])/edge[j][k];

         }

     }

     for(int i=;i<=n;i++)

         printf("%0.3f\n",ans[i]);

     return ;

 }