2-SAT问题介绍求解 + 模板题P4782
什么是2-SAT问题
sat 即 Satisfiability,意思为可满足,那么2-SAT表示一些布尔变量只能取true或者false,而某两个变量之间的值存在一定的关系(如:只要a为真,b一定为假;如果a为假,b也为假),我们需要在满足所有这样的关系的情况下,求出每个变量的赋值,如果不存在,就是无解。
举个栗子
某一天,PC,YD,HL在讨论两个问题:1)winter的温度是否低于0度,2)bamboo的高度是否大于10m,众所周知,这三位大佬很强大,所以他们对于这两个问题的判断至少有一个是正确的。此时给出三人对这两个问题的判断,求出这两个问题的正确答案;如果不存在正确答案,那么可能是某个人犯糊涂了,因此我们无法得到答案,输出无解。
我们将两个问题符号化为,a:winter的温度低于0度, b :bamboo的高度大于10m,将三人的观点及其符号化表示如下:
1)PC认为:winter的温度低于0度,bamboo的高度大于10m,a∨ b
2)YD认为:wintet的温度不低于0度,bamboo的高度大于10m,¬a∨ b
3)HL认为:winter的温度不低于0度,bamboo的高度不大于10m,¬a∨ ¬b
那么a,b的取值需要满足:(a∨ b) ∧ ( ¬a∨ b) ∧ (¬a∨ ¬b),我们如何求出满足这个式子的a,b的取值这类问题就是2-SAT问题。
将2-SAT问题转为图论问题求解
我们可以将每个变量x的两个状态分别用两个点表示,记编号为i的点表示这个变量取真,i+n的点表示这个变量取假
将两个变量之间的关系用边表示,如:只要a为真,b一定为假,将此命题符号化得到¬a∨¬b,这个式子也可以写成:a → ¬b ∧ b → ¬a,表示:a为真,则b必为假 ,和b为真,则a必为假,这样我们就发现 a 和 ¬b 可以由a推出¬b, 可以由b推出¬a,在图中,我们构建这样的边表示他们的关系:由 a 向 ¬b 建一条单向边,再由 b 向 ¬a建一条单向边,总结以下将命题转化为建图的规律:
1)¬a∨¬b ----> a → ¬b ∧ b → ¬a
2)a∨b ----> ¬a → b ∧ ¬b → a
3)¬a∨b ----> a → b ∧ ¬b → ¬a
4)a∨¬b ----> ¬a → ¬b ∧ b → a
(x→y可以视作由x向y建一条单向边)
然后,我们在这个图中求强连通分量,联想到我们图中边代表的关系:由边的起点可以推出终点,所以同一强连通分量中的点真值一致,所以我们很容易想到如果 a 和 ¬a在同一强连通分量中,这说明a和¬a真值相同,这显然是不正确的,即无解;如果不存在变量x使得x和¬x在同一强连通分量中,就说明有解。
那么有解的情况下,我们如何得到每个变量的值呢?只要x所在强连通分量的拓扑序比¬x所在强连通分量的拓扑序靠后,则x为真,否则为假,而我们用tarjan算法求强连通分量的时候,对于每个强连通分量的标记是逆拓扑序的,所以 node[x] < node[¬x] 时,x取真,否则为假,这样一来,我们对每个变量进行判断并输出对应的值即可
代码区
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip> #define bug cout << "**********" << endl
#define show(x, y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "
#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf = 2e9 + ;
const ll mod = 1e9 + ;
const int Max = 2e6 + ;
const int Max2 = 3e2 + ; struct Egde
{
int to, next;
} edge[Max]; int n, m;
int head[Max], tot;
int dfn[Max], low[Max],time_clock;
int line[Max],now;
int node[Max],sccCnt; void init()
{
memset(head, -, sizeof(head));
tot = ;
memset(dfn,,sizeof(dfn));
time_clock = ;
now = ;
memset(node,,sizeof(node));
sccCnt = ;
} void add(int u, int v)
{
edge[tot].to = v;
edge[tot].next = head[u];
head[u] = tot++;
} void tarjan(int u)
{
dfn[u] = low[u] = ++time_clock;
line[++now] = u;
for(int i = head[u] ; i != -; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(!dfn[v])
{
tarjan(v);
low[u] = min(low[u],low[v]);
}
else if(!node[v])
{
low[u] = min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(dfn[u] == low[u])
{
sccCnt++;
while(line[now] != u)
node[line[now--]] = sccCnt;
node[line[now--]] = sccCnt;
}
} int main()
{
#ifdef LOCAL
// freopen("input.txt", "r", stdin);
// freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
{
init();
for (int i = , a, va, b, vb; i <= m; i++)
{
scanf("%d%d%d%d", &a, &va, &b, &vb);
add(a + n * (va & ), b + n * (vb ^ ));
add(b + n * (vb & ), a + n * (va ^ )); //1~n表示1,n+1,2*n表示0
}
for(int i = ;i <= (n << ) ;i ++)
{
if(!dfn[i])
tarjan(i);
}
bool ok = true;
for(int i = ;i <= n ;i ++)
{
if(node[i] == node[i+n])
{
ok = false;
break;
}
}
if(!ok)
{
printf("IMPOSSIBLE\n");
}
else
{
printf("POSSIBLE\n");
for(int i = ;i < n ;i ++)
{
printf("%d ",node[i] < node[i+n]);
}
printf("%d\n",node[n] < node[n<<]);
}
}
return ;
}
2-SAT问题介绍求解 + 模板题P4782的更多相关文章
- poj3250(单调栈模板题)
题目链接:https://vjudge.net/problem/POJ-3250 题意:求序列中每个点右边第一个>=自身的点的下标. 思路:简单介绍单调栈,主要用来求向左/右第一个小于/大于自身 ...
- bzoj2049-洞穴勘测(动态树lct模板题)
Description 辉辉热衷于洞穴勘测.某天,他按照地图来到了一片被标记为JSZX的洞穴群地区.经过初步勘测,辉辉发现这片区域由n个洞穴(分别编号为1到n)以及若干通道组成,并且每条通道连接了恰好 ...
- [置顶] 小白学习KM算法详细总结--附上模板题hdu2255
KM算法是基于匈牙利算法求最大或最小权值的完备匹配 关于KM不知道看了多久,每次都不能完全理解,今天花了很久的时间做个总结,归纳以及结合别人的总结给出自己的理解,希望自己以后来看能一目了然,也希望对刚 ...
- POJ 1985 Cow Marathon (模板题)(树的直径)
<题目链接> 题目大意: 给定一颗树,求出树的直径. 解题分析:树的直径模板题,以下程序分别用树形DP和两次BFS来求解. 树形DP: #include <cstdio> #i ...
- HDU 4825 Xor Sum (模板题)【01字典树】
<题目链接> 题目大意: 给定n个数,进行m次查找,每次查找输出n个数中与给定数异或结果最大的数. 解题分析: 01字典树模板题,01字典树在求解异或问题上十分高效.利用给定数据的二进制数 ...
- POJ 3264 Balanced Lineup(模板题)【RMQ】
<题目链接> 题目大意: 给定一段序列,进行q次询问,输出每次询问区间的最大值与最小值之差. 解题分析: RMQ模板题,用ST表求解,ST表用了倍增的原理. #include <cs ...
- SPOJ RPLN (模板题)(ST算法)【RMQ】
<题目链接> 题目大意:给你一段序列,进行q次区间查询,每次都输出询问区间内的最小值. 解题分析: RMQ模板题,下面用在线算法——ST算法求解.不懂ST算法的可以看这篇博客 >& ...
- POJ 1330 Nearest Common Ancestors (模板题)【LCA】
<题目链接> 题目大意: 给出一棵树,问任意两个点的最近公共祖先的编号. 解题分析:LCA模板题,下面用的是树上倍增求解. #include <iostream> #inclu ...
- POJ2417 Discrete Logging【BSGS】(模板题)
<题目链接> 题目大意: P是素数,然后分别给你P,B,N三个数,然你求出满足这个式子的L的最小值 : BL== N (mod P). 解题分析: 这题是bsgs算法的模板题. #incl ...
随机推荐
- EasySwoole 在mac上装虚拟机centos共享mac目录报错处理
[2019-09-26 21:37:09][DEBUG][ERROR] : [listen /media/psf/Home/wwwroot/myobj/easyswoole/Temp/TaskWork ...
- FRP
使用 FRP 反向代理实现 Windows 远程连接 互联网普及率的日渐攀升与 IPv4 资源的持续减少,现在大部分家庭宽带都不会分配公网 IP ,这使一些网络应用的实现多了些困难,像个人的 NAS ...
- [CSP-S模拟测试]:C(三分+贪心)
题目传送门(内部题46) 输入格式 第一行$3$个整数$n,m,t$.第二行$n$个整数,表示$P_i$.接下来$m$行每行两个整数,表示$L_i,R_i$. 输出格式 一行一个整数表示答案. 样例 ...
- HAOI2010软件安装
首先tarjan缩点应该能看出来,然后我用topsort跑了个DAG上的一维dp,结果WA的很惨. 其实用DAG应该也能做,但是DAG强调整体顺序,而对一些局部问题,例如两个儿子怎么分配,是否给当前节 ...
- Swagger : API JSON 文件 转 PDF 问题总结
1. swagger API 转 PDF 具体请参考:woshihoujinxin/swagger-gendoc 2. 问题总结 接口方法值返回值为 void 类型时, @ApiOperation ...
- OUC_Summer Training_ DIV2_#5
这是做的最好的一次了一共做了4道题 嘻嘻~ A - Game Outcome Time Limit:2000MS Memory Limit:262144KB 64bit IO For ...
- Error:java: 错误: 不支持发行版本 5
本文链接:https://blog.csdn.net/wo541075754/article/details/70154604 在Intellij idea中新建了一个Maven项目,运行时报错如下: ...
- ActivityLifecycleCallbacks
public class ActivityLifecycleCallbacks implements Application.ActivityLifecycleCallbacks, ActivityS ...
- OpenCV学习笔记(13)——轮廓特征
查找轮廓的不同特征,例如面积,周长,重心,边界等 1.矩 图像的矩可以帮助我们计算图像的质心,面积等. 函数cv2.momen()会将计算得到的矩以一个字典的形式返回, 我们的测试图像如下: 例程如下 ...
- JavaScript中的bind,call和apply函数的用法和区别
一直没怎么使用过JavaScript中的bind,call和apply, 今天看到一篇比较好的文章,觉得讲的比较透彻,所以记录和总结如下 首先要理解的第一个概念,JavaScript中函数调用的方式, ...