[BZOJ 1563] [NOI 2009] 诗人小G(决策单调性)

题面

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 P 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他

$n \leq 5\times 10^5$

分析

转移方程推导

显然,设$dp[i]$为选了第$i$个句子并在此换行的最小不协调度。每句诗的长度为$a[i]$,$sum[i]$为前$i$句诗的总长度，那么

\[dp[i]=\min_{0 \leq j <i}(dp[j]+|sum[i|-sum[j]+(i-j-1)-L|^P)
\]

后面的式子表示把第$(j,i]$句分成一行的代价。句子长度为$sum[i]-sum[j]$,空格长度为$i-j-1$

这里的$w$函数为$w(j,i)=|sum[i|-sum[j]+(i-j-1)-L|^P$,由于$P$的次数较高,无法斜率优化。于是尝试证明$w$满足四边形不等式

决策单调性证明

我们要证明$\forall j<i,w(j,i+1)+w(j+1,i) \geq w(j,i)+w(j+1,i+1)$

移项，得$w(j+1,i)-w(j+1,i+1) \geq w(j,i)-w(j,i+1)$

记:

$u=(sum[i]+i)-(sum[j]+j)-(L+1)$

$v=(sum[i]+i)-(sum[j+1]+j+1)-(L+1)$

则只需证明

\[|v|^P=|v+(a[i+1|+1)|^P \geq |u|^P -|u+(a[i+1]+1)|^P
\]

即证明对于任意常数$c$,函数$h(x)=|x|^P-|x+c|^P$单调递减.证明比较繁琐，这里引用一下

总之,$w$满足四边形不等式,那么$f$有决策单调性

优化方法

由于单调性，每个决策$x$肯定存在一个区间$[l[x],r[x]]$使得当前情况下$p[k]=x(k \in[l[x],r[x]])$，

记$pos(x,y)$表示当前情况下,第一个以$x$为决策点不如以$y$为决策点更优的位置(如果当前只计算到$dp[i]$,则对于$i'>i$,$p[i']=i$)。则$r[x]=l[y]=pos(x,y)$.$pos$可以二分查找求出。

我们维护一个单调队列存储决策点。在处理$dp[i]$时,我们这样做:

如果队头的决策点对应区间不包含i,即$r[q[head]]=pos(q[head],q[head+1])<i$则出队
通过队头决策点转移
通过二分寻找出最左边的，以$q[tail]$为决策点不如以i为决策点更优的位置。这个位置实际上是$l[i]$.由于决策单调性，目前从这个位置往右的 dp 都满足以i为决策点是最优的。再二分出$l[q[tail]]=pos(q[tail-1],q[tail])$,如果$l[i]<r[q[tail]]$,说明$q[tail]$决策点对应的所有转移都不如$i$更优,我们把$q[tail]$出队,继续比较下一个决策点
当队尾的弹出停止的时候，将$i$入队，且$i$对应区间右端点为$n$

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#define maxn 500000

#define maxl 30

#define INF 1e18

using namespace std;

typedef long double db;

int T;

int n,L,P;

char s[maxn+5][maxl+5];

int sum[maxn+5];

db dp[maxn+5];

int res[maxn+5];

inline db fast_pow(db x,int k){

	db ans=1;

	while(k){

		if(k&1) ans=ans*x;

		x=x*x;

		k>>=1;

	}

	return ans;

}

inline db calc(int j,int i){//计算f[j]+val(j,i)

	return dp[j]+fast_pow(abs(sum[i]-sum[j]+(i-j-1)-L),P);

}

inline int bin_search(int a,int b){//找到第一个决策b比决策a优的位置

	if(calc(a,n)<calc(b,n)) return n+1;

	int l=b,r=n;

	int ans=-1;

	int mid;

	while(l<=r){

		mid=(l+r)>>1;

		if(calc(b,mid)<=calc(a,mid)){

			ans=mid;

			r=mid-1;

		}else l=mid+1;

	}

	return ans;

}

void ini(){

	for(int i=1;i<=n;i++){

		dp[i]=INF;

		res[i]=0;

	}

}

int q[maxn+5];

int stk[maxn+5];//找出1~n最优决策的每一段

int main(){

	scanf("%d",&T);

	while(T--){

		scanf("%d %d %d",&n,&L,&P);

		ini();

		for(int i=1;i<=n;i++){

			scanf("%s",s[i]);

			sum[i]=strlen(s[i])+sum[i-1];

		}

		int head=1,tail=0;

		q[++tail]=0;

		dp[0]=0;

		for(int i=1;i<=n;i++){

			while(head<tail&&bin_search(q[head],q[head+1])<=i) head++;

			//使得head决策点的对应区间包含i

			res[i]=q[head];

			dp[i]=calc(q[head],i);

			while(head<tail&&bin_search(q[tail-1],q[tail])>=bin_search(q[tail],i)) tail--;

			//把以队尾决策点为决策点不如以i为决策点更优的位置出队

			q[++tail]=i; //并替换成i

		}

		if(dp[n]>INF){

			printf("Too hard to arrange\n");

		}else{

			printf("%lld\n",(long long)dp[n]);

			int top=0;

			for(int i=n;i;i=res[i]) stk[++top]=i;

			stk[++top]=0;

			for(int i=top-1;i>=1;i--){

			int r=stk[i],l=stk[i+1]+1;

			for(int j=l;j<r;j++) printf("%s ",s[j]);

			printf("%s\n",s[r]);

			// }

		}

		printf("--------------------\n");

	}

}