并查集与最小生成树Kruskal算法

一、什么是并查集

在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（union-find algorithm）定义了两个用于次数据结构的操作：

• Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
• Union：将两个子集合并成一个集合。

二、主要操作

• 初始化：把每个点所在的集合初始化为其自身。

for(int i=1;i<=n;i++)
    f[i]=i;

• 查找：查找元素所在的集合，即根节点。

int find(int x)
{
    while(f[x]!=x)
        x=f[x];
    return x;
}

• 合并：将两个元素所在的集合合并为一个集合。

void Union(int x1,int x2)
{
    int t1=find(x1);
    int t2=find(x2);
    if(t1!=t2)
        f[t2]=t1;
}

三、优化

上面的代码看似简洁，但是每一次find操作的时间复杂度为O(H)，H为树的高度，由于我们没有对树做特殊处理，所以树的不断合并可能会使树严重不平衡，最坏情况每个节点都只有一个子节点。

所以在find函数里采用路径压缩。

int find(int x)       //查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径
{
    if (x != f[x])
    {
        f[x] = find(f[x]);
        //从x结点搜索到祖先结点所经过的结点都指向该祖先结点
    }
    return f[x];
}

四、模板题

洛谷P3367【模板】并查集

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int f[10002];
int find(int x)
{
	if(x!=f[x])
		f[x]=find(f[x]);
	return f[x];
}
void Union(int x1,int x2)
{
	int t1=find(x1);
	int t2=find(x2);
	if(t1!=t2) //祖先不一样
		f[t2]=t1; //把t2的祖先变为x1的祖先t1
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int z,x,y;
		cin>>z>>x>>y;
		if(z==1)
			Union(x,y);
		else
		{
			if(find(x)!=find(y))cout<<"N"<<endl;
			else cout<<"Y"<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

五、最小生成树

一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小联通子图，期包含原图的所有n个结点，且有保持图连通的最少边。

最小生成树其实就是最小权重生成树的简称。

Kruskal算法

• 将图的所有边按照权值从小到大排序
• 遍历所有排好序的边，若构不成回路，则将该边加入到集合中
• 直到找出n-1条边

例题：繁忙的都市

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int s,maxm;
int p[100002];
struct node{
    int u;
    int v;
    int c;
}info[100002];

bool cmp(node x1,node x2)
{
    if(x1.c!=x2.c)return x1.c<x2.c;
    else if(x1.u!=x2.u) return x1.u<x2.u;
    else return x1.v<x2.v;
}
int find(int x)       //查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径
{
    if (x!=p[x])
    {
        p[x]=find(p[x]);
    }
    return p[x];
}
void bcj(int x1,int x2)//把x2并入x1的集合
{
    int t1,t2;//存储祖先节点
    t1=find(x1);
    t2=find(x2);
    if(t1!=t2)p[t2]=t1;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;//n就是顶点数，m是边数
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        p[i]=i;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>info[i].u>>info[i].v>>info[i].c;
    }
    sort(info,info+m,cmp);
    for(int i=0;i<m;i++)//遍历所有的边
    {
        if(find(info[i].u)!=find(info[i].v))
        {
            bcj(info[i].u,info[i].v);//把v并入u的集合
            maxm=max(maxm,info[i].c);
        }
    }
    cout<<n-1<<" "<<maxm;
    return 0;
}