[HNOI/AHOI2018]道路

Description:

W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有$n - 1$个城市和$n$个乡村，其中城市从$1$到$n - 1$ 编号，乡村从$1$到$n$编号，且$1$号城市是首都。道路都是单向的，本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市，恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市i，通向该城市的道路（公路或铁路）的起点，要么是一个乡村，要么是一个编号比$i$大的城市。没有道路通向任何乡村。除了首都以外，从任何城市或乡村出发只有一条道路；首都没有往外的道路。从任何乡村出发，沿着唯一往外的道路走，总可以到达首都。

W 国的国王小 W 获得了一笔资金，他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限，小 W 只能翻修$n - 1$条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路，即从公路和铁路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利，于是根据人口调查的数据，小 W 对每个乡村制定了三个参数，编号为$i$的乡村的三个参数是$a_i$，$b_i$和$c_i$。假设从编号为$i$的乡村走到首都一共需要经过$x$条未翻修的公路与$y$条未翻修的铁路，那么该乡村的不便利值为

\[c_i \cdot (a_i + x) \cdot (b_i + y)
\]

在给定的翻修方案下，每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。翻修$n - 1$条道路有很多方案，其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案，小 W 自然希望找到最优翻修方案，请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。

Hint:

对于所有的数据，$n \le 20000$，$1 \le a_i,b_i \le 60$，$1 \le c_i \le 10^9$，$s_i,t_i$是$[-n,-1] \cup (i,n - 1]$内的整数，任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。

Solution:

表面上不可做实际上并不难的树型dp

设 $f[i][j][k]$ 表示在i节点,到根修了j条公路,k条铁路的代价

显然有转移:

$f[i][j][k]=min(f[ls][j+1][k]+f[rs][j][k],f[ls][j][k],f[rs][j][k+1])$

可以考虑直接出叶子节点的f值,然后由根的初始状态出发$f[1][0][0]$,记忆化搜索

但是这题卡空间,但是树的最大深度为40,我们发现一个点只由儿子转移过来,所以只需开一条链的空间大小,详见代码:

#include <map>

#include <set>

#include <stack>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define ls p<<1

#define rs p<<1|1

using namespace std;

typedef long long ll;

const int mxn=4e4+5;

int n,m,a[mxn],b[mxn],c[mxn],to[mxn][2];

ll f[105][85][85];

inline int read() {

    char c=getchar(); int x=0,f=1;

    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}

    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}

    return x*f;

}

inline int chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}

inline int chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {

    int to,nxt;

}t[mxn<<1];

void dfs(int u,int id,int x,int y)

{

    if(to[u][0]) dfs(to[u][0],id+1,x+1,y);

    if(to[u][1]) dfs(to[u][1],id+2,x,y+1);

    if(u>n) {

        for(int i=0;i<=x;++i)

            for(int j=0;j<=y;++j)

                f[id][i][j]=1ll*c[u]*(a[u]+i)*(b[u]+j);

    }

    else {

        for(int i=0;i<=x;++i)

            for(int j=0;j<=y;++j)

                f[id][i][j]=min(f[id+1][i+1][j]+f[id+2][i][j],f[id+1][i][j]+f[id+2][i][j+1]);

    }

}

int main()

{

    int u,v;

    n=read(); memset(f,0x3f,sizeof(f));

    for(int i=1;i<n;++i) {

        u=read(); v=read();

        if(u<0) u=-u+n;

        if(v<0) v=-v+n;

        to[i][0]=u; to[i][1]=v;

    }

    for(int i=1;i<=n;++i)

        a[i+n]=read(),b[i+n]=read(),c[i+n]=read();

    dfs(1,1,0,0);

    printf("%lld",f[1][0][0]);

    return 0;

}