POJ 1113 Wall(思维 计算几何 数学)

题意

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给出平面上n个点的坐标。你需要建一个围墙，把所有的点围在里面，且围墙距所有点的距离不小于l。求围墙的最小长度。

\(n \leqslant 10^5\)

Sol

首先考虑如果没有l的限制，那么显然就是凸包的长度。

现在了距离的限制，那么显然原来建在凸包上的围墙要向外移动\(l\)的距离，同时会增加一些没有围住的位置

因为多边形的外交和为360，再根据补角的性质，画一画图就知道这一块是一个半径为\(l\)的圆。

因为总答案为凸包周长 + \(2 \pi l\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10;
inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
int N, top;
struct Point {
	double x, y;
	Point operator - (const Point &rhs) const {
		return {x - rhs.x, y - rhs.y};
	}
	Point operator + (const Point &rhs) const {
		return {x + rhs.x, y + rhs.y};
	}
	double operator ^ (const Point &rhs) const {
		return x * rhs.y - y * rhs.x;
	}
	bool operator < (const Point &rhs) const {
		return x == rhs.x ? y < rhs.y : x < rhs.x;
	}
}p[MAXN], q[MAXN];
template<typename A> A sqr(A x) {
	return x * x;
}
double dis(Point a, Point b) {
	return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y));
}
void insert(Point now) {
	while(top > 1 && ((q[top] - q[top - 1]) ^ (now - q[top - 1])) < 0) top--;
	q[++top] = now;
}
int main() {
	N = read(); double L = read();
	for(int i = 1; i <= N; i++) p[i].x = read(), p[i].y = read();
	sort(p + 1, p + N + 1);
	q[top = 1] = p[1];
	for(int i = 2; i <= N; i++) insert(p[i]);
	for(int i = N - 1; i >= 1; i--) insert(p[i]);
	double ans = 0;
	for(int i = 1; i < top; i++) ans += dis(q[i], q[i + 1]);
	ans += 2 * acos(-1) * L + 0.5;
	printf("%d\n", (int) ans);
}