Luogu4156 WC2016 论战捆竹竿 KMP、同余类最短路、背包、单调队列

传送门

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豪华升级版同余类最短路……

官方题解

主要写几个小trick：

\(1.O(nm)\)实现同余类最短路：

设某一条边长度为\(x\)，那么我们选择一个点，在同余类上不断跳\(x\)，可以形成一个环。

显然只有在同一个环上的两点之间才可能通过\(x\)进行转移。我们选择环上答案最小的点，它一定不会在当次更新时被更新答案，所以直接从这个点开始依次遍历环上的所有点，每一个点尝试从前面的一个点更新答案。

\(2.\)将\(\mod n\)的同余类最短路变为\(\mod d\)的同余类最短路：

令新的同余类最短路为\(g_x\)，原同余类最短路为\(f_x\)，那么首先令\(g_{f_i \mod d} \leftarrow f_i\)，但是可能会有一些\(g\)没有被正确更新。在\(f_x\)中实际上还有默认的长度为\(n\)的边，那么在\(g\)中用长度为\(n\)的边在\(g\)上更新一次同余类最短路就可以得到正确的答案了。

\(3.\)更新\(border\)长度为等差数列的一段数的操作过程：

设这一个等差数列的首项为\(x\)，公差为\(y\)，有\(t+1\)项，先将原最短路变为\(\mod x\)的同余类最短路，那么对于每一个环上的点，可以从前面\(t\)个点进行转移，代价为距离\(\times y + x\)，本质是一个多重背包。与此同时类似trick1地，转移一定不会跨越一个环上的最小值点，所以可以破环成链变为多重背包问题，使用单调队列优化转移。

PS：UOJ EX5好毒瘤啊……

Update on 2019.12.28：重写了一遍终于过了UOJ的Ex test，特来还愿。下面的代码更新为可以通过UOJ的代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int _ = 5e5 + 7;
char str[_]; ll mn[_] , tmp[_] , W; int T , L , curl , nxt[_];
template < typename T >
void chkmin(T &a , T b){a = a < b ? a : b;}
int upd(int x){return x + (x >> 31 & curl);}

int num[_];
void ext(int len){
	int stp = len % curl; if(!stp) return;
	memset(num , 0 , sizeof(int) * (curl + 1));
	for(int i = 0 ; !num[i] ; ++i){
		int x = i , id = i;
		do{id = mn[id] > mn[x] ? x : id; x = upd(x + stp - curl); num[x] = 1;}while(x != i);
		x = id; do{int p = upd(x + stp - curl); chkmin(mn[p] , mn[x] + len); x = p;}while(x != id);
	}
}

ll val[_]; int que[_] , hd , tl;
void ext1(int len , int tms){
	int stp = len % curl; if(!stp) return;
	memset(num , 0 , sizeof(int) * (curl + 1));
	for(int i = 0 ; !num[i] ; ++i){
		int x = i , id = i , cnt = 0;
		do{id = mn[id] > mn[x] ? x : id; x = upd(x + stp - curl);}while(x != i);
		x = id; hd = tl = 0;
		do{
			num[x] = ++cnt; if(hd != tl && cnt - num[que[hd]] > tms) ++hd;
			if(hd != tl) chkmin(mn[x] , val[que[hd]] + 1ll * stp * cnt + curl);
			val[x] = mn[x] - 1ll * stp * cnt;
			while(hd != tl && val[que[tl - 1]] >= val[x]) --tl;
			que[tl++] = x; x = upd(x + stp - curl);
		}while(x != id);
	}
}

void change(int nl){
	memset(tmp , 0x3f , sizeof(ll) * max(tl , nl));
	for(int i = 0 ; i < curl ; ++i) chkmin(tmp[mn[i] % nl] , mn[i]);
	int tl = curl; curl = nl; memcpy(mn , tmp , sizeof(ll) * max(tl , nl)); ext(tl);
}

int main(){
	nxt[0] = -1;
	for(scanf("%d" , &T) ; T ; --T){
		scanf("%d %lld %s" , &L , &W , str + 1); W -= L;
		memset(mn , 0x3f , sizeof(mn)); mn[0] = 0;
		for(int i = 1 ; i <= L ; ++i){
			int t = nxt[i - 1];
			while(~t && str[t + 1] != str[i]) t = nxt[t];
			nxt[i] = t + 1;
		}
		vector < int > border; int t = curl = L , pos = 0;
		while(nxt[t]) border.push_back(L - (t = nxt[t]));
		while(pos < border.size())
			if(pos + 2 >= border.size()) ext(border[pos++]);
			else if(border[pos + 2] - border[pos + 1] == border[pos + 1] - border[pos]){
				int r = pos + 2 , len = border[pos + 1] - border[pos];
				while(r + 1 < border.size() && border[r + 1] - border[r] == len) ++r;
				change(border[pos]); ext1(len , r - pos); pos = r + 1;
			}
			else ext(border[pos++]);
		ll sum = 0;
		for(int i = 0 ; i < curl ; ++i)
			if(W >= mn[i]) sum += (W - mn[i]) / curl + 1;
		cout << sum << endl;
	}
	return 0;
}